Equações diferenciais de primeira ordem

Este capitulo trata de equações diferenciais de primeira ordem

Onde f e uma função de duas variáveis dada. qualquer função diferenciável y = φ (t) que satisfaça essa equação para todo t em algum intervalo é dita uma solução e nosso objetivo.

É determinar se tais funções existem e, caso existam, desenvolver métodos para encontra-las Infelizmente, para uma função arbitraria f , não existe método geral para resolver a equação em termos de funções elementares. Em vez disso, descreveremos vários métodos, cada um dos quais aplicável a determinada subclasse de equações de primeira ordem. As mais importantes delas são as equações lineares(Seção 2.1),as equações separáveis(Seção 2.2)

E as equações exatas (Seção 2.6).As outras seções deste capítulo descrevem algumas das aplicações introduzem a idéia de aproximar uma solução através de cálculos numéricos e discutem algumas questões teóricas relacionadas à existência e à unicidade de soluções diferenciais de primeira ordem, introduzem a idéia de aproximar uma solução através de cálculo numéricos e discutem algumas questões teóricas seção trata de equações de diferença de primeira ordem, que têm alguns pontos importantes de semelhança

com as equações diferenciais e são, sob certos aspectos, mais fáceis de estudar.

Se a função f na Eq.(1) depende linearmente da variável y, então a Eq.(1) é

Chamada de uma equação linear de primeira ordem. Discutinos, nos Seções

1.1 e 1.2, um tipo restrito de equações lineares de primeira ordem nos quais

os coeficientes são constantes. Um exemplos típico é:

ȡɏ = - ay +b,

dt

onde a e b são constantes dadas. Lembre – se que uma equação dessa forma

descreve o movimento de um objeto em queda na atmosfera. Queremos, agora, considerar a equação linear de primeiras ordem mais geral possível, que é obtida substituindo-se os coeficientes a e b na Eq.(2) por funções arbitrárias

de t Escrevemos, em geral,equação linear de primeira ordem geral na forma

dy + p(t) y =g(t)

dt

onde p e g são funções dadas da variável independente t

onde p e g são funções dadas da variável independente t

A eq.(2) pode ser resolvida pelo método de integração direto

Dado na Seção 1.2 Isto é,reescrevemos a equação na forma

Dy|dt = - a

Y – (b|a)

Depois, integrando, obtemos

In|y – (b|a)| = - at + c

Da qual segue que a solução geral da Eq. (2) é

Y=(b|a) + ce –at

Onde