EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ª ORDEM HOMOGÊNEAS

Revisão de equação do 2º grau

Exemplos: Resolva as seguintes equações do segundo grau:

x² - 5x + 6 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-5)² - 4.1.6

Δ = 25 – 24 = 1

x = -b ±√Δ

2a

x = -(-5) ±√1

2.1

x = 5 ± 1

2

x1 = 3 e x2 = 2

Portanto: Δ > 0 → duas raízes reais e distintas.

x² - 4x + 4 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-4)² - 4.1.4

Δ = 16 – 16 = 0

x = -b ±√Δ

2a

x = -(-4) ±√0

2.1

x = 4 ± 0

2

x1 = 2 e x2 = 2

Portanto: Δ = 0 → duas raízes reais e iguais.

x² - 4x + 5 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (-4)² - 4.1.5

Δ = 16 – 20 = -4

x = -b ±√Δ

2a

x = -(-4) ±√-4 √-4 = √4.(-1) como i² = -1 temos: √4i² = ±2i

2.1

x = 4 ± 2i

2

x = 2(2 ± i)

2

x1 = 2 - i e x2 = 2 + i

Portanto: Δ < 0 → não existe raiz real.

DEFINIÇÃO

A equação diferencial da forma ay’’ + by’ + cy = k(x) é denominada equação diferencial linear de 2ª ordem, onde a ε R*, b e c ε R.

Se k(x) = 0, a equação linear é homogênea.

Se k(0) ≠ 0, a equação linear não é homogênea.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM HOMOGÊNEA

Forma padrão: ay’’ + by’ + cy = 0

Exemplos:

y’’ + 6y’ + 5y = 0 → a = 1; b = 6 e c = 5

y’’ + y’ = 0 → a = 1; b = 1 e c = 0

2y’’ – 5y’ + 4y = 0 → a = 1; b = -5 e c = 4

y’’ - 9y = 0 → a = 1; b = 0 e c = -9

EQUAÇÃO AUXILIAR OU EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA

Para determinarmos a solução geral de uma equação diferencial linear de 2ª ordem devemos usar uma equação auxiliar ar² + br + c = 0.

Logo: ay’’ + by’ + cy = 0

ar² + br + c = 0 → equação auxiliar ou equação característica

Para encontrarmos a equação auxiliar, substituímos:

y’’ = r²; y’ = r e y = 1

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE 2ª ORDEM

As soluções usuais destas equações são funções exponenciais, funções lineares e as funções trigonométricas seno e cosseno, que são periódicas.

Exemplo: Dada a equação y’’ – 9y = 0 verifique se as equações y = e3x e

y = e-3x são soluções da equação dada.

Resolução:

y = e3x y = e-3x

y’ = e3x . 3 = 3. e3x y’ = e-3x .(-3) = -3. e-3x

y’’ =3 e3x . 3 = 9. e3x y’’ =-3 e-3x .(- 3) = 9. e-3x

Na equação y’’ – 9y = 0 ficamos:

Para y = e3x

9. e3x - 9 e3x = 0 verificamos que y = e3x é solução.

Para y = e-3x

9. e-3x - 9 e-3x = 0 verificamos que y = e-3x é solução.

Portanto, as equações diferenciais lineares de 2ª ordem homogêneas, com coeficientes constantes, possuem duas soluções linearmente independentes. Tais soluções podem ser determinadas através do método da equação auxiliar ou equação característica.

No caso da equação y’’ – 9y = 0, supondo uma solução exponencial, isto é, da forma y = erx, vemos y’ = rerx e y’’ = r²erx, substituindo na equação y’’ – 9y = 0 temos:

y’’ – 9y = 0

r²erx – 9erx = 0

erx(r² - 9) = 0

erx ≠ 0

r² - 9 = 0

r² = 9

r = ±3

Portanto: y’ = e3x e y’’ = e-3x

Logo a solução geral da equação y’’ – 9y = 0 é dada por: y = C1e3x + C2e-3x, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Mas como encontrar a solução geral?

Vamos lá!

1º caso:A equação tem raízes reais e distintas

“Se as raízes r1 e r2 da equação auxiliar ar² + br + c = 0 são reais e distintas, então a solução geral da equação ay’’ + by’ + cy = 0 é:

Y = C1er1x + C2er2x.”

Exemplo: Para a equação diferencial y’’