Exercícios de Análise Matemática

Exercícios 3.3.1 1. Considere uma piscina contendo uma mistura de 30000 litros de água

e cloro, este último com constante de concentração ¯. No instante t = 0 começa a

entrar água pura na piscina à velocidade constante de 3 litros por segundo. Passados 30

segundos, a mistura que se forma na piscina, e se supõe sempre homogénea, começa a

saír à velocidade constante de 5 litros por segundo.

a) Escreva uma expressão da função m(t), quantidade de cloro na piscina no instante t,

admitindo t ¸ 0 e t sucientemente pequeno para que a piscina não esvazie.

b) Determine a quantidade de cloro na piscina quando esta estiver a metade da sua

capacidade no instante t = 30 segundos.

2. Desde a descoberta da radioactividade que se sabe que determinadas substâncias emitem

continuamente partículas ®, ¯ e °. A emissão destas partículas corresponde a modica-

ções na estrutura atómica de tal modo que os átomos da substância inicial se vão transformando

em átomos de outras substâncias, numa cadeia característica de cada elemento

radioactivo. Da substância inicial sobra sempre uma porção correspondente aos átomos

que ainda não se desintegraram e que, evidentemente, diminui com o tempo. Designemos

por m(t) a massa da substância que ainda não se desintegrou, e que é proporcional ao

número de átomos que ainda não sofreram o chamado decaimento1 radioactivo.

a) Determine uma expressão da massa de determinada substância radioactiva que ainda

não se desintegrou no instante t.

b) Determine o tempo que a massa da substância que ainda não se desintegrou a leva

reduzir-se a metade.

1Do inglês "decay".

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3. Um tanque com 50 litros de capacidade contém inicialmente 10 litros de água fresca. No

instante t = 0, adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 Kg de sal por litro,

à razão de 4 litros por minuto, enquanto que a mistura se escoa à razão de 2 litros por

minuto.

Determine:

(a) o tempo necessário para que o tanque transborde;

(b) a quantidade de sal presente no tanque por ocasião em que o tanque transborda.

4. Determine as trajectórias ortogonais das famílias de curvas seguintes:

a) y = cx2 ; a) y = ce

x2

2 ; a) x = ce

y