Explicação mínimos Quadrados

Cap ́ıtulo 8

Aproxima ̧c ̃

ao de Fun ̧

c ̃

oes: M ́

etodo

dos M ́ınimos Quadrados

8.1

Introdu ̧

c ̃

ao

O objetivo do presente cap ́ıtulo consiste em resolver o seguinte problema: aproximar uma fun ̧c ̃ao

y = f (x) (real e de vari ́

avel real) por uma fun ̧c ̃ao F (x) que seja combina ̧c ̃ao linear de fun ̧c ̃oes conhecidas,

isto ́e:

f (x)

a 0 g 0 (x) + a 1 g 1 (x) + . . . + a m g m (x) = F (x) .

de tal modo que a distˆ

ancia de f (x) a F (x) seja a menor poss ́ıvel.

A substitui ̧c ̃

ao de f (x) por uma fun ̧c ̃ao F (x) ́e indicada quando o uso da fun ̧c ̃ao dada oferece alguns

inconvenientes, tais como:

a) f (x) ́e definida atrav ́es de processos n ̃ao-finitos como integrais, soma de s ́eries, etc;

b) f (x) ́e conhecida atrav ́es de pares de pontos, obtidos em experimentos, e desejamos substitu ́ı-

la por uma fun ̧c ̃

ao cujo gr ́

afico se ajuste aos pontos observados;

que podem ser afastados atrav ́es de uma escolha apropriada da fun ̧c ̃ao F (x).

Antes de descrevermos o m ́etodo do m ́ınimos quadrados relembremos alguns conceitos b ́asicos.

Sabemos da geometria plana euclidiana que: dados uma reta r e um ponto P fora dela, o ponto da

reta r mais pr ́oximo de P ́e o u

́ nico ponto Q tal que P Q ́e ortogonal a r.

O mesmo acontece na geometria euclidiana s ́olida, isto ́e: dados um plano α e um ponto P fora dele,

o ponto de α mais pr ́

oximo de P ́e o p ́e da perpendicular tra ̧cada de P a α.

Como generalizar tal id ́eia a um espa ̧co euclidiano E qualquer? O problema que devemos resolver

agora ́e: dados uma fun ̧c ̃

ao f (x) ∈ E e um sub-espa ̧co E de E qual deve ser a fun ̧c ̃ao F (x) ∈ E , tal que:

f (x) − F (x) < f (x) − Q(x) ,

para qualquer que seja Q(x) ∈ E , Q(x) = F (x)?

234 ̃ DE FUNC

̃

́

CAP ́ITULO 8. APROXIMAC

̧ AO

̧ OES:

M ETODO

DOS M ́INIMOS QUADRADOS

235

Este problema pode ser resolvido atrav ́es da aproxima ̧c ̃ao de f (x) por F (x) pelo M ́

etodo dos

M ́ınimos Quadrados, como veremos nesse cap ́ıtulo.

8.2

Aproxima ̧

c ̃

ao Polinomial

Vamos tratar aqui da aproxima ̧c ̃

ao de uma fun ̧c ̃ao y = f (x) por um polinˆomio de um certo grau m,

isto ́e, F (x) = P m (x), tanto no caso em que f (x) ∈ C[a, b], onde C[a,b] ́e o espa ̧co vetorial das fun ̧c ̃oes

cont ́ınuas reais definidas no intervalo fechado e limitado [a,b] (caso cont ́ınuo), como no caso onde f (x) ́e

dada por pares de pontos (caso discreto).

8.2.1

Caso Cont ́ınuo

Consideremos uma fun ̧c ̃

ao f (x) ∈ C[a, b].

Inicialmente analisaremos o problema considerando que o polinˆomio a ser determinado seja escrito

em rela ̧c ̃ao `

a base canˆ

onica e a seguir que ele seja escrito em rela ̧c ̃ao a uma base ortonormal. Assim:

Representa ̧

c ̃

ao na Base Canˆ

onica

Desejamos aproximar f (x), x ∈ [a, b], por um polinˆomio de grau no m ́aximo m, isto ́e,

f (x)

a 0 + a 1 x + . . . + a m x m = P m (x),

de tal modo que a distˆ

ancia de f a P m seja m ́ınima.

Observe que neste caso: g 0 (x) = 1, g 1 (x) = x, . . . , g m (x) = x m s ̃ao fun ̧c ̃oes conhecidas.

Assim, o polinˆ

omio (a coeficientes reais), P m (x), deve ser tal que:

dist (f, P m )

= m ́ınima.

Usando a defini ̧c ̃

ao de distˆ

ancia, dada anteriormente, (Cap ́ıtulo 1), temos:

1/2

dist (f, P m ) = ||f − P m || = [(f − P m , f − P m )]

1/2

b

2

(f (x) − P m (x)) dx

=

a

Assim, o que desejamos ́e obter:

Q