Exploração de recursos renováveis

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Universidade Federal da Bahia

MAT04 – Cálculo C

Anderson Norberto

Lucas Polito

Narelle Rocha

Pedro Soares

Stephanie Lacerda

Exploração de recursos renováveis

Salvador – BA

Agosto de 2017

1. Introdução

Frequentemente é necessário escrever certos fenômenos da vida real em termos matemáticos. Para isso construímos modelos matemáticos capazes de prever o comportamento de tal fenômeno. Os modelos descrevem um problema aproximado, para se obter uma solução mais próxima do real, pois tentando descrever um problema real, a solução seria menos precisa.

A construção do modelo envolve uma percepção da situação real em linguagem matemática. Para que o modelo seja uma boa representação da realidade, é de fundamental enunciar de maneira precisa os princípios que governam o sistema de interesse.

Como hipóteses sobre um sistema envolvem uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, os modelos matemáticos utilizam as derivadas. Dessa forma, é utilizado uma equação ou um sistema de equações diferenciais. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que determina um processo ou sistema, pode-se retirar informações importantes, e possivelmente, fazer previsões. Julgaremos o modelo razoável se suas soluções forem consistentes com dados experimentais fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porém se as predições obtidas pela solução forem pobres, podermos elevar o nível de solução do modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança do sistema. Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo matemático e, assim, a possibilidade de não conseguirmos obter uma solução explicita.

1.  Objetivo

Após uma introdução do modelo a ser utilizado, trata-se agora da meta a ser alcançada com o explicitado método: demonstrar e relacionar a exploração de recursos renováveis com as equações diferenciais.

Como já dito, o modelo apresenta a taxa de variação de diversas variáveis. Desta forma, pode-se relacionar os recursos renováveis à uma variável matemática, encontrando assim, por meio das equações diferencias, a taxa de variação do recurso em questão. Isto pode variar de acordo com a quantidade de recursos envolvidos, fatores naturais, tempo etc.

Como o objetivo é relacionar e demonstrar a exploração de recursos renováveis, será feito um desenvolvimento da forma mais trivial possível, tentando manter a explicação simplificada, tendo em vista a leitura e a absorção do conhecimento por parte do leitor.

1. Desenvolvimento

Considerando a situação em que não há a intervenção humana, supõe-se que a população humana poderia ser representada logisticamente, então seria dada pela equação:

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Caso P(t) represente a população dada de acordo com a biomassa ou número de indivíduos em um determinado instante t em anos, a equação logística é descrita como:

[pic 3]                                        (2)

Em que [pic 4]é a taxa de crescimento intrínseco, e K é a capacidade de suporte do meio ambiente que é chamada de nível de saturação ou limite populacional, ambos constantes determinadas experimentalmente.

A análise será feita considerando indivíduos de uma população animal como recurso natural explorado.

Primeiro, iremos supor que a taxa de exploração é constante e dada por h, o que altera a equação (2) para

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Podemos perceber que a função G(P) acima é do segundo grau cuja a concavidade é voltada para baixo, conforme o Gráfico 1 abaixo.

Gráfico 1: Taxa de exploração de uma população P(t)

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Supondo que a taxa de exploração está dentro do esperando e então não excede o máximo determinado pela função, esta tem duas raízes, as quais são calculadas conforme a fórmula de Bhaskara:

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(4)

Observamos que P(t) = P1 e P(t) = P2 são soluções constantes, chamadas de solução de equilíbrio de (2).

Sendo assim, é possível perceber que a derivada dP/dt é positiva no intervalo P1 < P < P2, e, dessa forma, P crescerá nesse intervalo, ao passo que a derivada é negativa para os demais valores de P. Além disso, diferenciando (3) temos que:

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Isso significa que o gráfico P(t) é côncavo para baixo, para e , é côncavo para cima. Dessa forma, mesmo não resolvendo a equação diferencial, podemos deduzir o comportamento qualitativo das soluções.[pic 15][pic 16]

Observamos que, se a população inicial  for menor que , a população P(t) decrescerá para zero (extinção), enquanto que a população P(t) tenderá para , um valor menor que K (a população-limite sem exploração), em um tempo finito. O número  é chamado de equilíbrio estável assintótico ou atrator, já que outras soluções que começam perto de  se aproximam da reta horizontal ; O número  é chamado de equilíbrio instável ou repulsor. Concluímos que a produção não pode ser grande demais, pois iria esgotar a fonte.[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

A partir da equação (4) foi possível observar que há duas soluções reais para G(P) = 0 se . Se  ou é possível identificar, através do Gráfico 1, que dP/dt = G(P) < 0 e, desse modo, P(t) decrescerá para 0. Para , a equação  tem uma única raiz  P1 = (1/2)K, sendo este valor uma solução também constante. O valor de   é nomeado de produção máxima sustentável (PMS), porque prevê a probabilidade de uma população constante , além de uma exploração constante igual à máxima sustentável, o que corresponde a população acrescentada anualmente em virtude da reprodução menos as mortes.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]