Fórmulas Cálculo III

1.1 Campo Vetorial

- Para determinar o campo vetorial é necessário pegar toda a função e fazer a derivada parcial de cada componente (x,y,z):

Ex: Função 2y2 + 3x2y - xy3  (6xy - y3)i + (4y + 3x2 - 3xy2)j (só tem 2 componentes)[pic 1]

1.2 Divergência de F:

▽.F ou div F = ++ [pic 2][pic 3][pic 4]

1.3 Rotacional de F:

▽xF ou rot F = (i + (j + (k[pic 5][pic 6][pic 7]

onde (f)i, (g)j, (h)k.

1.4 Divergente de Rotacional entre funções (sem gradiente)

▽.(FxG) = (▽xF).G - F.(▽xG)

Fazer os 2  “rotacional (X)” primeiro e depois fazer o divergente (.).

2.1 Integrais de Linha

A = = [pic 8][pic 9]

1º passo: Parametrizar tudo em t (Ex: com ; Parametriza x = t³; y = t);[pic 10][pic 11]

2º passo:Achar módulo de x,y derivado em relação  t (Ex: );[pic 12]

3º passo: Aplicar os valores encontrados no 1º passo dentro da função. Ex: fica )dt, onde o (y)³ da função é substituído por (t)³.[pic 13][pic 14][pic 15]

Parametrizar a função em relação a t: OBS: Fazendo desse modo sempre dará [pic 16]

x = x1 + at                         onde;

y = y1 + bt                        Pi = (x1,y1,z1)

z = z1 + ct                        Pf-Pi = (a,b,c)

OBS: para cada reta, se for um triângulo, fazer as 3 retas com os Pontos iniciais e finais (Pi e Pf).

Parametrizar a circunferência em relação a t:

x = r cos(t)

y = r sen(t)

x2 + y2 = r2

Parametrizar a elipse em relação a t: x = a cos(t) e y = b sen(t)      

[pic 17]

OBSERVAÇÃO: - Quando a integral dada já estiver em dx, dy e dz (e não em dS) é só parametrizar em t e derivar. OBS: Não precisa fazer o módulo daí.

Ex:(x+yz)dx + 2xdy + xyzdz, Calcula o caminho usando as fórmulas x = x1 + at , etc… C: x = 1+t, y = 3t , z = 1 ; dx = 1dt, dy = 3dt , dz = 0dt[pic 18]

- Agora é só aplicar os valores na integral e calcular.

(x+yz)dx + 2xdy + xyzdz = ((1+t)+(3t)(1))(1dt) + ((2)(1+t))(3dt) + ((1+t)(3t)(1))(0dt)

2.2 Integrais de Linha FUNÇÃO VETORIAL

1º passo: Parametrizar em (t);

2º passo: Fazer a derivada do (t);

3º passo: Aplicar os valores encontrados no passo 1 e 2 dentro da função e multiplicar o 1º termo (i) de (t) pelo primeiro termo da derivada de (t), ou seja, faz i.i , j.j , k.k.

Ex: F(x, y) = xyi + 3y2j; r(t) = 11t4i + t³j; ; Derivando ---> r’(t) = 44t³i + 3t²j[pic 19]

Aplicando os valores: F(x,y) = ((11t4)(t³))i + ((3)(t³)²)j . (44t³i + 3t²j) ---> (11t7,3t6)(44t³,3t²) ---> 484t10 + 9t8 --->  Agora integra com os limites e resolve

3. Teorema Fundamental de Integral de Linha

(x1,y1) + (xo,yo)[pic 20][pic 21][pic 22]

3.1 Teste do Campo Conservativo

3.1.1 Duas variáveis

Dada F (x,y) = P (x,y)i + Q (x,y)j

onde;

P = x     = possível função potencial[pic 23][pic 24][pic 25]

Q = y[pic 26]

Será conservativo somente se: [pic 27]

Então:

1. Integrar x em x e acrescentar + g(y)[pic 28]
2. Derivar esse resultado em y
3. Igualar isso à y[pic 29]
4. Cortar semelhantes
5. integrar em y a função restante
6. Substituir função resultante [g(y)] no resultado de (1)

3.1.2 Três variáveis

Dada F (x,y,z) = P (x,yz)i + Q (x,y,z)j + R (x,y,z)k