Formulário Preenchido

Execute o que se pede para a função  f(x) = x4- 2x³.

1. Encontre os pontos críticos.
2. Encontre pontos de inflexão.
3. Encontre intervalos de crescimento e decrescimento.
4. Estude a concavidade.
5. Determine os extremos relativos.
6.  Determine os extremos absolutos. 
7. Esboce o gráfico.

Respostas:

1. Os pontos críticos são encontrados ao se calcular as raízes da primeira derivada da função dada:

f'(x) = 4x^3 – 6x^2 = 0

x(4x^2-6x) = 0

x = 0 ou 4x^2-6x = 0

x(4x-6) = 0

x = 0 ou x = 3/2

Assim, temos que a função  correspondente à  derivada primeira da função é uma função de terceiro grau do tipo poligonal com três raízes reais, sendo duas iguais a zero e uma igual a três meios, que são os pontos críticos desta função.

1. Para calcular os pontos de inflexão, calculam-se as raízes  da derivada segunda da função dada:

f"(x) = 12x^2-12x = 0

x(12x-12) = 0

x = 0 ou x = 1

Agora é preciso analisar se os pontos são ou não de inflexão. Isso é feito calculando-se valores antes e depois de cada valor.

f"(-1) = 12(-2)^2-12 = 48-12 = 36 > 0 (concavidade para cima)

f"(1/2) = 12(1/2)^2-12 = 3-12 = -9 < 0 (concavidade para baixo)

f”(2) = 12(2)^2-12 = 48-12 = 36 > 0 (concavidade para cima)

Portanto, como a concavidade da função, regida pelo sinal da segunda derivada, muda de sinal duas vezes, justamente nos pontos calculados, ambos são pontos de inflexão.

1. Já para calcular os intervalos de crescimento e de decréscimo da função, deve-se analisar o sinal da derivada primeira:

f'(-1) = 4(-1)^3-6(-1) = -4+6 = 2 > 0 (crescimento)

f'(1/4) = 4(1/4)^3-6(1/4) = 1/16-6/4 = -23/16 < 0 (decréscimo)

f'(1) = 4(1)^3-6(1) = 4-6 = -2 < 0 (decréscimo)

1. A concavidade é da seguinte forma:

Para valores menores que zero para x, a concavidade é para cima. Entre os valores de x = 0 e x = 1, a função assume concavidade para baixo. E para valores superiores a x = 1 a função tem concavidade para cima novamente para cima.

1. Para determinar os extremos relativos, deve-se sobrepor a análise da primeira derivada com a da segunda derivada. Dessa forma obtém-se o seguinte:

Em x = 0 e x=3/2 temos primeira derivada numa, o que é um indicador para pontos críticos, mas somente x = 3/2 é ponto de extremo relativo, sendo ponto de mínimo.

Assim, o valor mínimo é:

f(3/2) = (3/2)^4-2(3/2)^3 = 81/16 – 27/4 = -27/16

1. Como só há um ponto de extremo relativo, este é um ponto de extremo absoluto, um mínimo global.
2. Esboço do gráfico de f(x) = x^4-2x^3[pic 1]