Função Logaritima

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

A FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Magali Laktim

Belo Horizonte - 2010

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

A FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Monografia desenvolvida como

requisito para a aprovação no

curso de Especialização em

Matemática para Professores

da Universidade Federal de

Minas Gerais.

Nome: Magali Laktim

Orientador: Gilcione Nonato Costa

Belo Horizonte - 2010

Nome: Magali Laktim

Monografia: A Função Logarítmica

Membros componentes da banca examinadora:

________________________________________

Gilcione Nonato Costa (Orientador)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

________________________________________________

Alberto Berly Sarmiento Vera

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

_________________________________________________

Jorge Sabatucci

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Belo Horizonte, 23 de junho de 2010.

Agradecimentos

Àquele que é capaz de fazer infinitamente mais do que tudo que pedimos

ou pensamos, agradeço por me oferecer a oportunidade dessa nova conquista

nos meus estudos.

Ao professor Gilcione Nonato Costa agradeço por ter me orientado neste

trabalho e pela dedicação. Agradeço aos professores Alberto Berly Sarmiento

Vera e Jorge Sabatucci pela ajuda na construção dos gráficos.

Resumo

O objetivo principal desse trabalho é apresentar uma forma geométrica para

a definição da função logarítmica. Inicialmente são abordadas as notações de

somatório, algumas somas finitas e infinitas e o cálculo de algumas áreas nãopoligonais,

utilizando a noção de limite.

Palavras chaves: definição, logarítmica, área.

Abstract

The main objective of this work is to present a geometric form for the

definition of the logarithmic function. Initially the finite and infinite notations of sum,

some additions and the calculation of some areas are boarded not-polygons, using

the limit notion.

Keywords: definition, logarithmic, area.

SUMÁRIO

Introdução.............................................................................................................07

1. Preliminares......................................................................................................08

1.1 A notação sigma e algumas somas especiais

1.1.1. Cálculo da soma dos números naturais..............................................08

1.1.2. Cálculo da soma dos quadrados dos números naturais.....................09

1.1.3. Cálculo da soma dos cubos dos números naturais............................10

1.1.4. Série geométrica.................................................................................12

2. O cálculo de áreas como limites.....................................................................14

2.1- Cálculo da área sob o gráfico da função 2 f(x) = x ....................................14

2.2- Cálculo da área sob o gráfico da função 3 f(x) = x .....................................17

2.3- Cálculo da área sob o gráfico da função n f( x ) = x .....................................20

3. Definição da função logarítmica......................................................................23

3.1- Propriedades da função logarítmica............................................................23

3.2- Equivalência das definições da função logarítmica.....................................31

4. Conclusão..........................................................................................................34

5. Anexos

5.1- Teorema do Valor Intermédio.....................................................................35

5.2- Teorema do confronto (Teorema do sanduíche)........................................35

5.3- Soma de Riemann......................................................................................35

6. Referências bibliográficas...............................................................................36

Introdução

No ensino médio, a definição de logaritmo surge da necessidade de se

resolver equações do tipo 2 = 5 x , pois não se consegue reduzir todas as

potências