Funções

Funções

Conceito

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se função de A em B, qualquer relação de A e B que associa a cada elemento de A um único elemento de B, ou seja, a função de A em B é uma relação entre duas grandezas variáveis.

Noção Matemática de Função

Conjuntos Numéricos (flechas)

Exemplo – São dados os conjuntos A = {-1, 7, 17} e B = {-9, -7, 0, 9, 29}. Seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = 2x - 5 , com x

É uma função, pois todos os elementos de A estão associados a elementos de B e cada elemento de A está associado a único elemento de B.

Observação: não será função de A em B quando pelo menos um elemento do conjunto A não está associado a nenhum elemento de B ou quando um elemento de A está associado a mais de um elemento de B.

Conclusão – Sendo A e B dois conjuntos não-vazios e uma relação ƒ de A em B, essa relação ƒ é uma função de A em .

Observação: y = ƒ(x) y e ƒ(x) são equivalentes na linguagem matemática.

Gráfico de uma função no plano cartesiano

Um dos aspectos mais importantes do estudo de uma função é a construção de seu gráfico, isto é, do “desenho” que a representa.

Aplicação

Dada a função y = x2 – 1, construa um gráfico no plano cartesiano.

Solução:

Inicialmente, atribuímos valores a x e encontramos os respectivos valores para y. Com esses valores, montamos uma tabela, que nos fornece pontos do gráfico:

Em seguida, localizamos esses pontos no plano cartesiano e os unimos, obtendo o gráfico abaixo.

Função de 1º grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 • 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y

0 -1

0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

Função identidade

Chama-se função identidade a toda função f: IR → IR definida por:

f(x) = x

Note que neste caso temos a = 1 e b = 0.

As principais características da função identidade são:

:: Domínio: IR;

:: Imagem: IR;

Gráfico da função identidade:

O gráfico da função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares, isto é, 1° e 3°. Abaixo temos o gráfico da função identidade:

FUNÇÃO CONSTANTE

Toda função na forma , com é denominada função constante.

Em uma função constante qualquer que seja o elemento do domínio eles sempre terão a mesma imagem, ao variarmos x encontramos sempre o mesmo valor k.

Gráfico da Função Constante

Para exemplificar vamos observar a função constante representada graficamente no plano cartesiano:

Neste exemplo a constante k possui o valor -3.

Observe os pontos (-2, -3), (0, -3) e (4, -3) que destacamos no gráfico da função.

Em cada um destes pontos distintos temos uma abscissa diferente, no entanto todos os três possuem a mesma ordenada.

Isto vale para qualquer ponto do gráfico desta função, pois qualquer que seja o valor de x, o valor de y sempre será igual a -3, já que y não depende de x, pois y não faz parte da lei de formação da função, que é meramente a constante -3.

Assim como este gráfico é, o gráfico de qualquer função constante definida de em sempre será uma reta paralela ao eixo x, que passa pelo ponto (0, k), que neste nosso exemplo é o ponto (0, -3).

Diagrama de Flechas da Função Constante

Agora