Geometria

Aula 4

Vetores

Produto Vetorial

Produto vetorial em R3, é uma operação que não existe em R2 e definimos da seguinte forma:

Se [pic 2][pic 3] e[pic 4][pic 5], então o produto vetorial de A e B, denotado por AxB, é dado por

[pic 6]

Note que o produto vetorial entre dois vetores é também um vetor. Esta operação é chamada de multiplicação vetorial.

Exemplo

1. Dados [pic 7][pic 8] e[pic 9][pic 10], encontre A X B.

Existe um método, chamado de mnemônico, para o cálculo de uma multiplicação vetorial, definido por:

[pic 11]

Exemplo 1

1. Use o método mnemônico, empregando a notação de determinante para encontrar o produto vetorial dos vetores do exemplo anterior.

Teorema

Se A é um vetor qualquer em R3, então

1. [pic 12][pic 13]
2. [pic 14][pic 15]
3. [pic 16][pic 17]

Do teorema obtemos:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Utilizando a figura a seguir, é fácil ver que no sentido horário, o produto vetorial de dois vetores no sentido horário é o vetor seguinte positivo e o produto vetorial de dois no sentido anti-horário é o vetor seguinte negativo:

[pic 21]

Teorema 2

Se A e B são vetores quaisquer em R3, então

[pic 22]

Teorema 3

Se A, B e C são vetores quaisquer em R3, então

[pic 23]

Teorema 4

SeA e B são vetores quaisquer em R3 e c um escalar, então

[pic 24]

e

[pic 25]

Exemplos

1. Encontre o produto vetorial do 1o exemplo, aplicando o Teorema 3 e o Teorema 4.
2. Demonstre que [pic 26][pic 27]

Teorema 5

Se A e B são dois vetores em R3e [pic 28][pic 29] é a medida em radianos do ângulo entre A e B, então

[pic 30]

A interpretação geométrica domódulo do produto vetorial é que este é a medida da área de um paralelogramo de altura [pic 31][pic 32] e comprimento da base [pic 33][pic 34]. A área é dada em unidades quadradas.

Exemplo

Mostre que o quadrilátero tendo vértices em P(1, -2, 3), Q(4, 3, -1), R(2, 2, 1) e S(5, 7, -3) é um paralelogramo e encontre sua área.

Teorema 6

Se A e B são dois vetores em R3 não-nulos, eles são paralelos se, e somente se [pic 35][pic 36].

Produto Misto

Se A, B e C são vetores em R3, então

[pic 37]

Exemplo

1. Verifique a definição acima se A=(1, -1, 2), B=(3, 4, -2) e C=(-5, 1, -4).

Teorema 7

Se A e B são vetores não nulos e não paralelos em R3, então o vetor [pic 38][pic 39]é ortogonal a AeB.

Exercícios

1. Dados os pontos P(-1, -2, -3), Q(-2, 1, 0) e R(0, 5, 1) encontre um vetor unitário, cujas representações são perpendiculares ao plano pelos pontos P, Q e R.
2. Encontre uma equação do plano pelos pontos P(1, 3, 2), Q(3, -2, 2) e R(2, 1, 3).

A interpretação geométrica do Produto Misto é a de que este representa o volume V de um paralelepípedo. Observemos a figura a seguir:

[pic 40]

[pic 41]

em que [pic 42][pic 43]

Exemplo

1. Encontre o volume do paralelepípedo tendo vértices P(5, 4, 5), Q(4, 10, 6), R(1, 8, 7) e S(2, 6, 9) e lados [pic 44][pic 45], [pic 46][pic 47] e [pic 48][pic 49].

Exercícios

1. Sejam A=(1, 2, 3), B=(4, -3, -1), C=(-5, -3, 5), D=(-2, 1, 6), E=(4, 0, -7) e F=(0, 2, 1), encontre:

1. [pic 50][pic 51]
2. [pic 52][pic 53]
3. [pic 54][pic 55]
4. [pic 56][pic 57]
5. [pic 58][pic 59]e[pic 60][pic 61]
6. [pic 62][pic 63]

1. Mostre que o quadrilátero de vértices (1, 1, 3), (-2, 1, -1), (-5, 4, 0) e (-8, 4, -4) é um paralelogramo e encontre sua área.
2. Encontre o volume do paralelepípedo [pic 64][pic 65],[pic 66][pic 67] e [pic 68][pic 69] se os pontos P, Q, R e S são respectivamente (1,3,4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) e (2, 2, 5).
3. Use o produto vetorial para encontrar uma equação do plano contendo os três pontos (-2, 2, 2),   (-8, 1, 6) e (3, 4, -1).

Referência bibliográfica

EDWARDS JR., C. H. Introdução à Álgebra Linear. 1ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

BOLDRINI, J.L. e outros. Álgebra Linear. 3ª edição. São Paulo: Editora HarbraLtda, 1986.