AVALIAÇÃO DA DISCIPLINA TÓPICOS DA GEOMETRIA

UNIVERSIDADE BANDEIRANTES (UNIBAN)

AVALIAÇÃO DA DISCIPLINA TÓPICOS DA GEOMETRIA

PROF: VINCENZO BONGIOVANNI

MESTRANDO: ALEXANDRE MOURA ROBERTO

01. Cada um, dentro da sua área de atuação ( álgebra, geometria, trigonometria, estatística, teoria dos números, cálculo, etc...) deverá elaborar um problema que deverá ser resolvido por uma mudança de quadro ou por um jogo de quadros. Essa mudança de quadro deverá facilitar a resolução do problema ou ser necessária na resolução do problema.

QUESTÃO PROPOSTA. No primeiro dia de aula de Matemática de uma turma do pré-vestibular, 30 alunos estavam presentes na sala de aula. Para tornar o encontro menos formal, o professor sugeriu que cada aluno cumprimentasse o outro com um aperto de mão. Qual foi o número total de apertos de mão?

COMENTÁRIOS

Para a resolução deste problema existem várias estratégias que podem variar de acordo com o nível de conhecimento do aluno. Destacaremos 3 delas: o raciocínio combinatório, a percepção da regularidade nos resultados ( usando a ideia da progressão aritmética ) e a elaboração de diagramas para a análise de casos mais simples ( usando o recurso da geometria )

QUADRO 1. USO DOS PRINCÍPIOS DE CONTAGEM.

No problema, é fácil perceber que cada aperto de mão será representado por um grupo formado por dois dos 30 alunos presentes. Denotando dois destes alunos por A e B, vemos que quando A cumprimenta B, implica necessariamente que B cumprimenta A, isto é: AB=BA, portanto, como a ordem dos elementos não resultou em outro aperto de mão, cabe a ideia da COMBINAÇÃO. Assim, o número de apertos de mão corresponde ao número de combinações dos 30 alunos tomados 2 a 2. Devemos então efetuar o seguinte cálculo:

QUADRO 2. USO DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

Neste caso, devemos induzir o aluno a montar uma tabela que compare o número de pessoas com o número total de apertos de mão. Elaborando essa tabela, percebemos a regularidade nos resultados que implica no uso da soma dos termos de uma progressão aritmética.

NÚMERO DE PESSOAS NÚMERO DE CUMPRIMENTOS

1 0

2 1

3 3=2+1

4 6=3+2+1

5 10=4+3+2+1

... ...

10 9+8+7+6+5+4+3+2+1

...

30 29+28+27+26+...+3+2+1

Observando a regularidade, percebemos que:

• Para 4 pessoas, temos 1+2+3=6 cumprimentos.

• Para 5 pessoas, temos 1+2+3+4=10 cumprimentos.

• O último número da expressão 1+2+3+4 é igual ao número de pessoas menos 1.

Seguindo esse padrão, para 30 pessoas temos: 1+2+3+4+...+28+29 cumprimentos.

A sequência 1,2,3,4,...,28,29 é uma P.A de razão 1, onde o primeiro termo é 1, o último termo é 29 e o número de termos é 29. Como a soma dos n primeiros termos de uma P.A é dado por , o número de cumprimentos é igual a

QUADRO 3. ELABORAÇÃO DE DIAGRAMAS.

Neste caso, devemos induzir o aluno a montar uma tabela que compare o número de pessoas com o número total de apertos de mão.

C D C E

D C

A A B A B A B A B

1 pessoa 2 pessoas 3 pessoas 4 pessoas 5 pessoas

Os diagramas acima representam os cumprimentos para 1,2,3,4 e 5 pessoas. Observe que o problema dos cumprimentos se reduz à contagem do número de segmentos necessários para conectar os vários pontos.

Vejamos o caso de 4 pessoas. A cumprimenta 3 pessoas: B,C e D ( 3 cumprimentos ). B também cumprimenta 3 pessoas: A,C e D ( 3 cumprimentos ), e assim por diante. Cada pessoa cumprimenta outras 3 pessoas. Parece então que teremos 4x3 ( 12 cumprimentos ). Porém, devemos notar que os cumprimentos entre A e B foram contados duas vezes. Isto ocorre com cada uma das 4 pessoas. Consequentemente, cada cumprimento foi contado duas vezes. Assim, para obter a resposta, precisamos dividir 12 por 2, ou seja, fazer ou 6, que é igual ao número de segmentos de reta traçados na figura ( AB, AC, AD, BC, BD, CD ). Usando o mesmo raciocínio para o caso de haver 5 pessoas, encontraremos que serão ou 10 cumprimentos ou 10 segmentos de reta ligando 5 pontos não alinhados do plano. Pode-se então generalizar esse raciocínio para um número qualquer de pessoas. Para a questão proposta, o número de cumprimentos é igual