Geometria Analítica Plana

                                               [pic 1][pic 2][pic 3]

Universidade Aberta do Brasil

Universidade Federal do Ceará

Instituto UFC Virtual

Disciplina: Geometria Analítica Plana

Coordenador da disciplina: Celson Antonio Silva Barbosa

Tutor à Distância: Francisco Egilberto Da Silva Faustino

Estudante(s): Marcos Paulo Barros De Souza

Portfólio 04

51º) Calcule a distância entre as duas retas paralelas: 3x + 4y – 15 = 0 e 3x + 4y – 5 = 0.

r: 3x + 4y – 15 = 0

s: 3x + 4y – 5 = 0

=> d(r,s) = d(P,s)

Ponto P (1,3)

=> d(P,s) = |ax0 + by0 + c|
                        √(a2 + b2)

=> d(P,s) = d = |3.1 + 4.3 + (-5)|
                                  √(3+ 4)

=> d(P,s) = d = 25
                            5

=> => d(P,s) = 2

52º) Há dois pontos na reta y = 2 que distam 4 unidades da reta 12y = 5x + 2. Encontre a soma das abscissas desses pontos.

Sendo a intersecção das duas retas y=2 temos que:

=> 12y=5x+2,

=> 12.2=5x+2,

=> x =  [pic 4]

Nesse caso temos que a ordenada dos dois pontos é 2, e a abscissas são:

=>  [pic 5]  e     [pic 6] logo com a soma:

[pic 7] +  [pic 8] =  [pic 9]

       54º) Calcule a distância entre as retas X = (2,-6) + t(2,-4) e X = (7,2) + t(-1,2)

Temos que encontrar a forma geral de cada reta, que é da forma ax + by + c = 0.
Chamando a primeira reta de r, e a segunda de s, depois observando suas paramétricas, teremos que:
r :    x = 2 + 2t 
        y = -6 -4t 
 Para descobrimos a forma geral dessa reta, usarei uma resolução de sistemas: Em x = 2 + 2t, simplificarei a equação a divindo por 2, assim teremos; x/2 = 1 + t --> desse modo t = x/2 - 1. Agora substituirei t na equação de y --> y = -6 - 4(x/2 - 1) --> y = -6 -4x/2 + 4 --> 
y = -2x - 2 --> 2x + y + 2 = 0. Essa é a forma geral da reta r.
O mesmo farei com a reta s, observamos que suas paramétricas são:
s :    x = 7 - t
        y = 2 + 2t
Em x = 7 - t, vamos multiplicar toda a equação por -1 --> -x = -7 + t --> assim, t = -x + 7. Agora substituirei na equação de y --> y = 2 + 2t --> y = 2 + 2(-x + 7) --> y = 2 - 2x + 14 --> 
y = -2x + 16 --> 2x + y - 16 = 0. Essa é a forma geral da reta s.
Assim, temos na reta r --> a = 2, b = 1, e c = 2. E na reta s --> a = 2, b = 1 e c = -16.
Observamos que as retas r e s possuem coeficientes a e b iguais, podemos constatar que são retas paralelas entre si. Desse modo, a distância entre as retas será dada pela fórmula:
d = |c1 - c2| / √(a²+b²) --> d = |2-(-16)| / √(2²+1²) --> d = |18| / √5 --> d = 18/√5.
Vamos racionalizar esse resultado --> 18/√5 . √5 / √5 --> 18√5 / (√5)² --> 18√5/5.
Assim a distância entre as retas r e s é 18√5 / 5.

       56º) Determine a equação da circunferência que passa nos pontos (0, 0), (3, 6) e (7, 0)

Substituindo o ponto (0,0) na equação da circunferência temos; (0-a)²+(0-b)²= r²  --> a²+b²=r² (I)
Substituindo o ponto (3,6) na equação da circunferência temos; (3-a)²+(6-b)²= r² -->
9 - 6a + a² + 36 - 12b + b² = r² (II)
Substituindo o ponto (7,0) na equação da circunferência temos; (7-a)²+(0-b)²= r² -->
49 - 14a + a² + b² = r² (III)
Agora fazendo (III) - (I) -->49 -14a + a² + b² -a² -b² = r² -r² --> 49-14a=0 --> 49=14a -->
 a=49/14 (IV)
Substituindo (IV) em (I) --> (49/14)²+b²=r² --> 2401/196 + b²=r² (V)
Agora substituiremos (IV) e (V) em (II) --> 9 - 6.49/14 + 2401/196 + 36 -12b + b² = 2401/196 + b² --> eliminando os termos iguais temos --> 9 - 6.49/14 + 36 -12b = 0 -->
45 - 12b - 21 = 0 --> 24 - 12b = 0 --> 24 = 12b --> b = 24/12 --> b=2. (VI) 
Substituindo (VI) em (V) --> 2401/196 + 2² = r² --> 2401/196 + 4 = r² --> realizando a soma por meio do mmc temos --> 16,25 = r² --> como não podemos tomar um valor negativo para o raio, então --> r = √(16,25) (VII) 
Temos o valor de a em (IV), o valor de b em (VI), e o valor de r em (VII), logo o centro é (49/14 , 2) e o raio √(16,25) . Assim podemos escrever a equação canônica da circuferênica que passa pelos pontos (0,0), (3,6) e (7,0) da seguinte maneira: 
    (x-49/14)² + (y-2)² = (√16,25)²
A equação geral dessa circunferência será:
x² - 2x.49/14 + 2401/196 + y² - 4y + 4 - (√16,25)²  = 0 --> 
x² - 7x + 2401/196 + y² - 4y + 4 - 16,25  = 0 --> x² - 7x + 2401/196 + y² - 4y - 12,25 = 0 --> 
x² - 7x + 12,25 + y² - 4y - 12,25 = 0 -->  x² - 7x + y² - 4y = 0, esta é nossa equação geral da circunferência que passa pelos pontos (0,0), (3,6) e (7,0).

58º) Escreva as equações reduzidas das parábolas com vértice na origem para cada um dos dados abaixo:

1. foco: (8, 0);

Ao traçarmos as coordenadas do vértice e do foco no plano, percebemos que a nossa parábola possui concavidade para a diretita, assim teremos +p, e a distância do vértice ao foco é 8, logo p = +8. Como o eixo de simetria é paralelo ao eixo x, então a reta diretriz é paralela ao eixo y. 
Sabendo dessas informações, a equação reduzida da parábola será: (y-yv)² = 4p(x-xv) -->
 (y-0)²=4.8(x-0) --> y²=32x.

1. diretriz: y = 2;

Ao traçarmos a reta diretriz e o vértice no plano, percebemos que a parábola terá concavidade para baixo(portanto p é negativo), a sua reta diretriz será paralela ao eixo x, e a distância entre o vértice e a reta diretriz é 2, assim p = -2.
Sabendo dessas informações, a equação reduzida da parábola será (x-xv)²=4p(y-yv) -->
(x-0)² = 4.(-2).(y-0) --> x² = -8y.

1. eixo de simetria: eixo Oy e um ponto da parábola: (5, 10);

Como o vértice é (0,0), e o eixo de simetria é paralelo ao eixo y, então a reta diretriz será paralela ao eixo x. Ao traçarmos o ponto (5,10) no plano, percebemos que a parábola possui concavidade para cima, portanto temos p positivo. Mas não temos nenhuma informação sobre a localizão da reta diretriz, ou sobre o foco, então para encontrarmos o valor da distância do vértice a cada um deles, idetificando assim o valor de p, usaremos as coordenadas do vértice, e as coordenadas do ponto (5,10) na equação geral da parábola, pois sabemos que este pertence a parábola, logo:
(x-xv)²=4p(y-yv) --> (5-0)²=4p(10-0) --> 5² = 4p.10 --> 25 = 40p --> p = 25/40 = 5/8.(como já constatamos que p será positivo)
Assim, a equação reduzida da nossa parábola será: (x-xv)²=4p(y-yv) --> 
(x-0)² = 4.5/8(y-0) --> x² = 2,5y.