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Geometria De Massas

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Por:   •  13/10/2014  •  1.790 Palavras (8 Páginas)  •  406 Visualizações

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Centro de massa

As forças infinitesimais, resultantes da atracção da terra, dos elementos

infinitesimais DP1, DP2, DP3, etc., são dirigidas para o centro da terra, mas por

simplificação são sempre consideradas paralelas.

XG

YG

x

Z Y dA

dP

dP

P

Para se obter a localização do ponto G, centróide, utiliza-se o teorema de

Varignon.

(“o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças concorrentes

é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao mesmo ponto O”).

Os momentos de P relativamente aos eixos “y”, “x”, são iguais às somas dos

momentos de cada força infinitesimal, relativamente aos respectivos eixos.

: . 1* 1 2 * 2

: . 1* 1 2* 2

Mx y P y P y P

My x P x P x P

= D + D

= D + D

Σ

Σ

No limite em que o número de elementos tende para infinito, ou seja a dimensão

de cada elemento é muito pequena, a força total será dada por:

= ∫

corpo

P dP

= ∫ = ∫

corpo

G

corpo

G a) x P xdP b) y P ydP

No caso de corpos lineares, (arames), será de realçar o facto de eventualmente o

centro de massa não se situar sobre o corpo.

6.2- Centróide – centro geométrico

No caso de um corpo homogéneo com características geométricas constantes,

nomeadamente uma placa com espessura constante, tem-se que:

DP = reDA

com r a massa especifica do corpo, e a espessura e DA a área infinitesimal.

Somando todos os elementos infinitesimais temos:

P = reA

substituindo a expressão em a) e b);

A

ydA

y

A

xdA

x

corpo

G

corpo

G

=

=

Válidas apenas para corpos com massa

específica constante e espessura constante

Se a placa for constituída por dois diferentes materiais, então o centróide pode não

coincidir com o centro de massa.

Para o caso de arames homogéneos de secção transversal uniforme, pode-se

escrever;

DP = raDL

em “a” é a área da secção e DL comprimento o elemento

L

ydL

y

L

xdL

x corpo

G

corpo

G

∫ ∫

= =

6.3- Momentos de primeira ordem (momentos estáticos) de superfícies e curvas

O integral ∫

A

xdA é conhecido pelo momento de primeira ordem da superfície em

relação ao eixo “y”, e ∫

A

ydA em relação ao eixo “x”.

= ∫ = ∫

A A

Qx ydA Qy xdA

Estes parâmetros geométricos serão considerados para o cálculo de tensões de

corte em vigas (resistência do materiais).

6.4- Simetria material

Ponto, eixo ou plano, que é de simetria geométrica e cujos partes

geometricamente simétricas têm massas específicas iguais.

6.5- Simetria geométrica

Existe simetria geométrica sse a um

ponto P corresponde um ponto P’ tal que o

segmento PP´seja ortogonal ao elemento

“espelho”.

Desta forma:

- um corpo que possua simetria geométrica terá o centróide no elemento

espelho.

- Um corpo que possua simetria material terá o centro de massa no elemento

espelho.

6.6- Corpos compostos

Tendo um corpo complexo, é possível decompor o mesmo num conjunto de corpos

mais simples em que seja conhecida a localização do centróide e/ou centro de massa.

Pela aplicação do teorema de Varignon e decompondo um meio contínuo em

...

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