Guidorizzi volume 2 capitulo 2 - resolvido

CAPÍTULO 1

Exercícios 1.1

1. Seja f: [0, 1] ‹ dada por

λ0 se

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x Ø λ{0,  1 , 1η}

f (x) = |[pic 1]

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Λ        2        λ

λ     1        η}

|1   se  x C {0,        , 1

Λ|        Λ        2        λ

Seja P uma partição qualquer de [0, 1]

n

P : 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xi —1 < xi < ... < xn = 1 e seja ∴

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f (ci ) Axi uma soma

de Riemann de f relativa a esta partição.

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i =1

Se nenhum dos c1, c2, ..., cn pertencer ao conjunto  λ{0,  1 , 1η}, então a soma de

Riemann será zero.

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Λ        2        λ

Admitindo que algum ou alguns (um, dois ou três) ci pertença ao conjunto  λ{0,  1 , 1η},

então f(c ) = 1 e f(c ) Ax = Ax

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(para cada c

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C λ0, 1 , 1η). Portanto,

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Λ        2        λ

i        i        i        i

n[pic 2][pic 3][pic 4]

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i        {Λ        2        }λ

i =1

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f (ci ) Axi

---

< 3 máx Axi.

Dado s > 0, existirá 6 = s[pic 5]

3

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(que só depende de s) tal que:

n[pic 6][pic 7]

i =1

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f (ci ) Axi

---

< s sempre que máx Axi < 6.[pic 8]

Em qualquer caso, temos, independentemente da escolha dos ci e para toda partição P

de [0, 1], com máx Axi < 6, que

n[pic 9][pic 10]

i =1

---

f (ci ) Axi — 0

---

< s.[pic 11]

Portanto,

n        1

lim →0 ∴ f (ci ) Axi = 0 = ∫0  f (x) dx.

máx Axi

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i =1

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3.

λ|1

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se 0 “ x < 1

a)  Seja  f (x) = {4[pic 12]

Λ2

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se x =1

se 1 < x “ 2.

Seja P uma partição qualquer de [0, 2]:

P : 0 = x0 < x1 < ... < xj —1 < xj < ... < xn = 2

Suponhamos que 1 C [xj —1, xj]. Temos[pic 13]

n        j —1

∴ f (ci ) Axi = ∴

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1f2(c3i ) Axi + f (cj ) Axj +

---

[pic 14]

∴  1f2(c3i ) Axi , onde f(cj) C {1, 2, 4}

i =1

---

i =1        1

---

i = j +1 2

= xj—1 + f(cj) (xj — xj—1) + 2(2 — xj) = 3 — (xj — xj—1) + f(cj) (xj — xj—1) + (1 — xj). Segue que

n[pic 15]

|

i =1

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f (ci ) Axi — 3 |“ | x j — x j —1 |+ 4 | x j — x j —1 |+|1 — x j |“ 6 máx Axi .

...