Resumo Do 1° Do Capitulo Livro Álgebra Linear

Resumo do 1° do Capitulo Livro Álgebra Linear de José Luiz Boldrini

Matrizes

Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou ainda outras matrizes.

Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:

Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está. Por exemplo, na matriz:

O elemento que está na primeira linha e terceira coluna é. -4, isto é, a13 = -4, ainda neste exemplo, temos a11 = 1, a12 = 4, a22 = -3 e a23 = 2.

Definição: Duas matrizes Amxn = [aij]mxn = e Brxs = [bij]rxs são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij = bij).

Tipos Especiais de Matrizes

Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).

Matriz Nula é aquela em que aij = 0, para todo i e j.

Matriz Coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1).

Matriz Linha é aquela que possui uma única linha (m =1).

Matriz Diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i≠ j, isto é, os elementos que não estão na “diagonal” são nulos.

Matriz identidade Quadrada é aquela em que aii = 1 e aij = 0, para i≠ j.

Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j.

Matriz triangular inferior é aquela em que m= n e aij = 0, para i < j.

Matriz Simétrica é aquela onde m=n e aij = aji.

Operações com Matrizes

Adição: A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn = [aij] e Bmxn = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A + B. Isto é, A + B = [aij + bij] mxn

Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:

1) A + B = B + A (Comutatividade)

2) A +(B + C) = (A + B) +C (Associatividade)

3) A + 0 = A, onde denota a matriz nula m x n.

Multiplicação por Escalar: Seja A = [aij] mxn e k um número, então definimos uma nova matriz.

k*A= [kaij] mxn

Propriedades: Dadas as matrizes A, B de mesma ordem m x n e números k, k1 e k2 temos:

1) k(A + B) =kA + kB

2) (k1 + k2)A = k1A + k2A

3) 0*A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula.

4) k1 (k2A) = (k1 * k2)A

Transposição: Dada uma matriz A = [aij] mxn podemos obter uma outra matriz