Hidrostática

As diferenças não pode1.1 Erro: existência

A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. De um lado, os dados, em si, já não são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, freqüentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos.

A primeira noção fundamental é a de que cada medida é um intervalo e não um número. Isso decorre do processo de medição, do erro do medidor, da incerteza do valor verdadeiro. Dessa forma, um comprimento não é de 56,7 cm mas, possivelmente, ( 56,7 ± 0,2 ) cm, isto é, algo no intervalo 56,5 cm a 56,9 cm.

A segunda noção é a de que, quando se opera com esse valor, ele carrega sua incerteza para o resultado das operações. Chama-se a esse processo, propagação de erro.

A terceira noção enfatiza que os métodos numéricos podem ser aproximados, freqüentemente iterativos, não se propondo a chegar a resultados exatos num número finito de iterações. Busca, sim, obter valores aproximados, diminuindo o erro a cada iteração, num processo de aproximação sucessiva.

Finalmente, uma quarta noção fundamental é a de que não se pode esquecer que o computador representará os números reais com um número finito de dígitos, sendo forçado a aproximá-los quando os números reais exigirem mais dígitos de que ele está preparado para usar. Como exemplo, ao representarmos o número exato p , ele deverá ser forçosamente arredondado, pois seus infinitos dígitos não poderão ser integralmente representados no computador.

Vejamos algumas observações:

quando se representa um valor m ± e , e positivo, vamos sempre admitir que o valor de e seja bem inferior ao valor absoluto de m, para se supor que a medida tenha sido bem feita. Assim, o valor m é expressivo diante de e . A medida 23.537m ± 2m, significa que o valor está entre 23.535m e 23.539m. Essa medida teria sido feita com boa precisão; tem-se uma boa aproximação do valor, embora com certa margem de erro, como sempre.

Porém, ao dizer-se que um comprimento é de 5m ± 4m, afirma-se que se sabe muito pouco sobre o valor, que poderia variar desde 1 m até 9 m. Essa medida não tem boa precisão.

chama-se desvio absoluto, ou erro absoluto, ao valor de e .

chama-se desvio relativo, ou erro relativo, à relação e / abs(m), onde abs(m) é o valor absoluto de m.

1.2 Erro: propagação

Vamos aos exemplos:

1- Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1 , calcular a soma a + b, a subtração a – b e o produto a . b

a pode variar de 47 a 53 enquanto b pode variar de 20 a 22. Assim o menor valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. Logo, a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4, variando de 67 a 75.

O menor valor da subtração seria 47 – 22 = 25 e o maior valor da subtração seria 53 – 20 = 33. Logo, a – b = (50 – 21) ± 4 = 29 ± 4 , variando de 25 a 33. Observe que na subtração, os erros