Integração de funções

Aula 7 - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

1. Integração de funções exponenciais:

∫[pic 1][pic 2]dx = [pic 3][pic 4] + C , pois ( [pic 5][pic 6])´= [pic 7][pic 8].

Exemplos:

1. ∫4 [pic 9][pic 10]dx

= 4 ∫[pic 11][pic 12]dx = 4.[pic 13][pic 14] + C

1. ∫[pic 15][pic 16]dx, pela regra de substituição: u = 2x e du= 2 dx → dx = du/2

Assim, ∫[pic 17][pic 18].du/2 =

∫[pic 19][pic 20]. du/2 =

1/2 ∫[pic 21][pic 22]. du =

1/2.[pic 23][pic 24] + C =

Substituindo u por 2x, temos:

1/2.[pic 25][pic 26] + C

1. ∫x.[pic 27][pic 28]dx , pela regra de substituição: u = 3x² e du= 6x dx → x.dx = du/6

Assim, ∫x.[pic 29][pic 30]dx = ∫[pic 31][pic 32].xdx =

∫eu du/6 = [pic 33] =

1/6∫[pic 34][pic 35]

1/6 [pic 36][pic 37] + C

Substituindo u por 3x², temos:

1/6 [pic 38][pic 39] + C

1. ∫x².[pic 40][pic 41]dx, pela regra de substituição: u = 3x³ e du= 9x²dx → x².dx = du/9

Assim, ∫x².[pic 42][pic 43]dx = ∫[pic 44][pic 45]dx

∫[pic 46][pic 47]dx =

= ∫eu du/9 =[pic 48]

1/9∫[pic 49][pic 50]

= eu/9 [pic 51] + C

Substituindo u por 3x3, temos:

e3x³/9 [pic 52] + C

Exercícios:

1. ∫ 5 exdx =
2. ∫ e3xdx =
3. ∫ x.e5x²dx =
4. ∫ x² e4x³dx =
5. ∫ 2x ex²dx =

Toda integral da forma ∫[pic 53][pic 54] será dada por ln IxI + C

Exemplos:

1. ∫2x/1 + x² . dx [pic 55], fazemos u = 1 +x². Então, du= 2xdx. Temos

∫2x/1 + x² . dx [pic 56]   = ∫ du/u[pic 57] =

= ln IuI + C

Substituindo u por 1+ x², temos

= ln I 1+x²I + C

1. ∫cotan y dy =

 ∫1/tg y dy =

[pic 58]∫ 1/seny/cos y dy  =

[pic 59]∫cosy/ sen y dy ,  

u = sen y → du = cos y dy

Assim:

∫ du/u = ln IuI + C

Substituindo u por sen y, temos

= ln I sen yI + C

1. ∫2x / x² + 5 dx = [pic 60] 

u = x² +5 → du = 2xdx

Assim:

∫ du/u = ln IuI + C

Substituindo u por x² + 5, temos

= ln I x² + 5I + C

1. ∫ 4/x .dx = 4 ∫ dx/x

4. ln IxI + C

1. ∫ tgx dx =

∫sen x/cos x dx =

 u = cos x → du = -sen x dx , ou seja –du = senx dx

∫ - du/u =

-1 ∫du/u =

- ln IuI + C

Substituindo u por cos x, temos

= - ln I cos x I + C

Exercícios:

1. ∫4x³dx/(2 +x4)
2. ∫2x dx/(x2+8)
3. ∫ 2/x dx
4. ∫secydy
5. ∫x2/(1+x³)dx

MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES:

Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,

[f(x).g(x)]´ = f(x). g´(x) + g(x). f´(x)]

ou,

f(x).g´(x) = [f(x). g(x)]´ - g(x).f´(x).

Integrando ambos os lados da equação, obtemos:

...