Inversa E Posto De Uma Matriz

A Inversa de uma matriz possui grande aplicabilidade na simplificação de equações matriciais. Em nossos estudos futuros veremos a sua influência nos processos de discussão e resolução de sistemas de equações lineares.

Matriz Inversível

Diz-se que uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se podemos encontrar uma matriz B também de ordem n de tal modo que

AB = BA = In

onde, In é a matriz identidade de ordem n.

Neste caso, a matriz B é dita a Inversa da matriz A, e, em geral, é denotada por B= A-1.

•É importante ressaltar que se a matriz B é a Inversa de A então a matriz A será a Inversa de B.

B= A-1  A = B-1

A seguir vamos usar a definição para calcular a inversa de uma matriz A genérica de ordem (2 x 2)

Seja a matriz A = . Desejamos encontrar uma matriz B = tal que

AB = 

Veja os sistemas dois sistemas nas variáveis x, z, y e w que precisamos resolver:

(I) (II)

e

Resolvendo (I) por substituição de variável temos

Logo, z =

Resolvendo o sistema (II), de forma análoga obtemos

y =

Por fim,

A-1 =

!!! Observe a relação existente entre os elementos da matriz A e a sua inversa A-1.

Sem efetuar muitos cálculos escreva a inversa da matriz A =

Gabarito: A-1 =

Vamos agora estabelecer a forma geral de cálculo da inversa de uma matriz quadrada de ordem qualquer:

Determinação da inversa de uma matriz A de ordem n

Em geral a determinação da inversa de uma matriz de ordem n requer muitos cálculos. É importante ressaltar que somente podemos calcular inversas de matrizes quadradas com determinantes não nulos.

Atenção!!!

Para estabelecermos a fórmula geral para cálculo da inversa de uma matriz de ordem n precisamos das definições a seguir:

Matriz dos Cofatores

Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

Lembramos que o cofator do elemento genérico aij da matriz A é definido pelo número

ij = (-1)i + j det(Aij),

onde: Aij é a submatriz obtida de A retirando-se a linha i e a coluna j.

A matriz dos cofatores de A, denotada por , é formada calculando-se todos os cofatores de A, isto é,

(ij )

Por exemplo, para A = os cofatores são dados por:

Logo,

Matriz Adjunta de A

Denotada por Adj(A), é definida como a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é,

Adj (A) = ( )t

No exemplo,

Adj A =

Matriz Inversa de A

Após a determinação da matriz adjunta da matriz A podemos encontrar a inversa de A, usando o seguinte resultado:

A-1 = . adj(A)

Por fim, a inversa da matriz A do exemplo será dada por:

A-1 = -

Exercícios Propostos:

Ache se possível a matriz inversa das seguintes matrizes:

(1) (2) A (3) A=

(4) A (5) A=

Gabarito: (1) (2) A não é inversível pois det(A) = 0.

(3) Para x ≠ 0, (4)

(5) A não é inversível pois det(A) = 0.

Propriedades da Inversa

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n inversíveis.

(1) A inversa da matriz identidade é a matriz identidade

(2) (A-1)-1 = A.

(3) (k. A)-1= A-1

(4) (At )-1 = (A-1)t

(5) (A.B)-1= B-1A-1

(6) det (A-1) =

Exercício proposto

Dadas as matrizes A= e B = , use as propriedades para calcular:

(1) (3 A)-1 (2) det A-1 (3) (Bt)-1 (4) (B-1)-1 (5) (AB)-1

Gabarito:

(2) det(A)-1 = 1/det(A) = -1

(3) (Bt)-1 = (B-1)t =