Limites de uma ou mais variaveis

Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL

Curso de Eng. Civil e Eng. Elétrica

Limites de Funções de Uma ou Mais Variáveis

Profº Msc. Christian Wagner

Palhoça

Semestre – 2015A

Uma mente que se abre a uma nova ideia nunca volta ao seu tamanho normal.

Albert Einstein

Unidade 1

Limites – Noção Intuitiva

1. Seqüências numéricas 

Estude o comportamento das seguintes seqüências:

1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...	Os termos da seqüência tendem a quanto?
2) -1, -2, -3, -4, -5, -6...	Os termos da seqüência tendem a quanto?
3)1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64...	Os termos da seqüência tendem a quanto?
4) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6...	Os termos da seqüência tendem a quanto?
5) 1. 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7	Os termos da seqüência tendem a quanto?

1.2 Noção Intuitiva – Gráficos e Tabelas

Objetivo: Estudar o comportamento de funções [pic 1], quando os valores de x aproximam-se de um determinado valor a.

Exemplo 1.1: Considere a função[pic 2] abaixo:

[pic 3]

Olhando para o gráfico da função pergunta-se:

(a) O que acontece com os valores da função (y), quando x aproxima-se de 2?	Escrevemos:
(b) O que acontece com os valores da função (y), quando x aproxima-se de 0?	Escrevemos:
(c) O que acontece com os valores da função (y), quando x aproxima-se [pic 4]?	Escrevemos:
(d) O que acontece com os valores da função (y), quando x aproxima-se de [pic 5]?	Escrevemos:

Exemplo 1.2: Qual o comportamento da função [pic 6], quando x aproxima-se de 1 pela direita e pela esquerda. Vamos montar uma tabela para isto:

X	[pic 7]	Então dizemos que o limite de [pic 8] tende à..............quando x tende a 1 pela direita ([pic 9]) e escrevemos:
2
1,5
1,1
1,01
1,001
1,0001

x	[pic 10]	Então dizemos que o limite de [pic 11] tende à..............quando x tende a 1 pela esquerda ([pic 12]) e escrevemos:
0
0,5
0,95
0,99
0,999
0,9999

Exemplo 1.3: Qual o comportamento da função [pic 13], quando os valores de x aproximam-se de 2? E se os valores de x crescem sem limitação? Vamos novamente, montar uma tabela para o estudo:

x	1	1,5	1,9	1,99	1,999	Escreva aqui usando a notação de limite
y
Escreva o comportamento:
x	3	2,5	2,1	2,01	2,001
y
Escreva o comportamento:

x	1	10	50	100	500	1000	10000
y
Escreva o comportamento da função
Escreva na notação de limite

1.3 Definição

Definição: Suponha que f(x) seja definido quando está próximo de um número a. (Isso significa que f é definido em algum intervalo contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Então escrevemos:

[pic 14]

E dizemos “ O limite de f(x), quanto x tende a a, é igual a L.” se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L(tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente próximos de a(por ambos os lados de a), mas não igual a a.