Lista de Exercício - Juros simples e compostos

LISTA DE EXERCÍCIOS 1

Juros Simples e Juros Compostos

1. Introdução

De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira pois, busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo (time value money). As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira, são: a taxa de juros, o capital e o tempo.

Devemos entender como Juros, a remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J ) = preço do crédito.
A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:

1 - inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo.
2 - risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento.
3 – aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram ganhar dinheiro!  

Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.  

Assim por exemplo, se os juros anuais correspondentes a uma dívida de R$2000,00 (Principal = P) forem R$200,00 (Juros = J), a taxa de juros anual ( i ) será 200/2000 = 0,10 = 10% ao ano. Indica-se: i = 10% a.a.

Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, etc., motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado.

Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).

Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido (enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau – crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente – segundo uma função exponencial).

2. Juros Simples

O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante.

Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos. Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:

J = P . i . n

No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (F ou M). Logo, teríamos:
F = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
Portanto:

F = P(1+in).

Exemplo:
A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco
anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução:
Temos:

P = 3000,  i = 5% = 5/100 = 0,05 e  n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto:

F = P(1+in)

 F = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00.

2.1 Exercícios Propostos

1 - Calcular os juros simples produzidos por $40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. , durante 125 dias.

Resposta:   j = $5000,00

2 - Um empréstimo de $8.000,00 rendeu juros de $2.520,00 ao final de 7 meses.  Qual a taxa de juros do empréstimo?

Resposta:  i =  4,5% a.m.

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $3.500,00 de juros em 75 dias?

Resposta:  P = $116.666,67

4 - Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.?

Resposta:  n = 3,3333... meses = 3 meses e 10 dias.

5 - Que capital produziu um montante de $20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?

Resposta:  P = $10.204,08

6 - Calcule o montante resultante da aplicação de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

Resposta: F =  $72.960,42
 7 - A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzirá o montante de $70.300,00 em 10 anos?

Resposta:  i = 0,7083 % a.m.

8 - Um capital é aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias. Após este prazo, foi gerado um montante de $886.265,55. Qual foi o capital aplicado?

Resposta:  P = $875.324,00
9 - Que capital aplicado a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de $650.000,00?

Resposta:  P = $626.506,02
10 - Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao final do período. Qual a taxa mensal de juros simples?

Resposta:  i = 9,5% a.m.

11 - Um capital P foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 dias e, após este período, o investidor recebeu $10.280,38. Qual o valor P do capital aplicado?

Resposta:  P = $ 7.304,00

12 - Obteve-se um empréstimo de $10.000,00 , para ser liquidado por $14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação?

Resposta: , i =  66% a.a.

13 - Em quanto tempo um capital aplicado a 48% a.a. dobra o seu valor?

Resposta:  n = 2,088333... anos =  25 meses.

14 - Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre (15% a.t.).

Resposta: P = $420.000,00