Matemática Para Computação

Produto Notáveis

Algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas revelam certos padrões matemáticos em suas resoluções. Essas expressões são conhecidas como produtos notáveis, que se dividem em quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Quadrado da Soma

(a + b)2 é o mesmo que (a + b) . (a + b)

Então, utilizando a propriedade distributiva vamos calcular:

(a + b) . (a + b) utilizando a propriedade distributiva.

a 2 + ab + ab + b 2 operar os termos semelhantes.

a 2 + 2ab + b 2

Concluímos que:

(a + b) . (a + b) = (a + b)2

Exercício:

1 - Determine os quadrados da soma aplicando as regras dos produtos notáveis:

a) (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3.2x + 22 = 9x2 + 12x + 4

b) (x + 5) ² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25

2 - A expressão (x + 2y)2 – (2x + y)2 pode ser simplificada? Em caso afirmativo qual será o resultado dessa simplificação?

(x + 2y)2 – (2x + y)2 = x2 + 4xy + 4y2 – (4x2 + 4xy + y2)

= x2 + 4xy + 4y2 – 4x2 – 4xy - y2 = - 3x2 + 3y2

Resposta: Sim. O resultado é – 3x2 + 3y2

Quadrado da Diferencia: As expressões que possuem a forma (a – b)2 podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática.

Utilizando a propriedade distributiva na expressão (a – b)2.

Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)2 pode ser escrito na forma

(a – b)* (a – b).

(a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b²

Exercícios:

1 - Determine o quadrado da diferencia:

a) (x – 4) ² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16

b) (2y – 5) ² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25

c) (7x – 8) ² = (7x) ² – 2 * 7x * 8 + (8) ² = 49x² – 112x + 64

d) (3x – 4) ² = (3x) ² – 2 * 3x * 4 + (4) ² = 9x² – 24x + 16

e) (6y – 5) ² = (6y) ² – 2 * 6y * 5 + (5) ² = 36y² – 60y + 25

Utilizando a regra prática na expressão (a – b)2.

“O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.”

Exercícios:

1 - Determine o quadrado da diferença resolvendo os exercícios utilizando a regra pratica.

a) (y – 6) ² = (y)² – 2*y*6 + (6) ² = y² – 12y + 36

b) (4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81

Produto da soma Pela Diferencia: (a + b).(a – b), sendo denominada Produto da Soma pela Diferença, podendo ser resolvida através da propriedade distributiva da multiplicação ou através de uma regra prática.

Aplicando a propriedade distributiva na resolução da expressão (a + b).(a – b).

(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b²

Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam.

Exercícios: