Matemática e Física: as equações diferenciais na Teoria da Queda dos Corpos

Matemática e Física: as equações diferenciais na Teoria da Queda dos Corpos

Nathália Fernanda Veloso dos Santos (UFMS-CPAR)

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Valteir Inácio da Silva (UFMS-CPAR)

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Danilo Gerônimo Machado Tornich (UFMS-CPAR)

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Mateus de Souza Diniz Queiróz (UFMS-CPAR)

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Objetivos:

Esse trabalho tem como objetivo principal relatar uma breve pesquisa em Matemática, fazendo também uso da Física, de modo a apresentar a aplicação das equações diferenciais de primeira ordem na Teoria da Queda dos Corpos. Essa teoria, primeiramente foi proposta por Aristóteles, que afirmava que se duas pedras, uma mais pesada que a outra, fossem largadas ao mesmo tempo de uma mesma altura, então a pedra mais pesada cairia mais depressa que a pedra leve, sendo essa primeira comparação aceita por vários séculos. A segunda vez em que a mesma teoria aparece na história, foi por Galileu Galilei, que confrontando a primeira proposta de Aristóteles, fez uma experiência, na qual, estando no alto da Torre de Pisa, soltou esferas de pesos diferentes que chegaram ao solo no mesmo instante, porém muitos adeptos do pensamento aristotélico discordaram dele. Mas, apenas mais tarde com Isaac Newton o impasse da Teoria da Queda dos Corpos foi resolvido, pois ele conseguiu provar que a queda dos corpos lançados de uma mesma altura, não ocorre coincidentemente porque estão próximos da superfície terrestre sob influência de uma segunda força, proveniente da interação com o ar que gera uma resistência ao movimento. Desse modo, as equações diferenciais de primeira ordem, em concordância com a primeira e a segunda Lei de Newton, irá nos ajudar a entender a deslocação em queda desses corpos, em relação à massa e a velocidade.

Palavras – chave: Corpos, Equações, Diferenciais.

Desenvolvimento:

Newton pensou em um tubo de vidro, no qual, houvesse a ausência do ar. Sendo assim, sem a influência da resistência do ar, um corpo mais pesado e o outro mais leve, atingiriam o solo ao mesmo tempo. Então, se admitirmos que os dois corpos, pesado e leve, caiem com a mesma aceleração g, a intensidade é constante e de aproximadamente 9,8 m/s2 e esse movimento de queda com a ausência do ar é chamado queda livre.

A força peso, no campo gravitacional, sempre faz esses corpos caírem sobre a terra, sendo que o fenômeno da queda livre estuda o movimento que os corpos fazem nos vácuos próximos a Terra. Dessa maneira, se um corpo for lançado verticalmente para cima, no vácuo, com velocidade inicial v0, na subida a aceleração da gravidade é negativa e quando o corpo atinge a altura máxima, a sua velocidade vai para zero. Esse movimento é chamado de uniformemente retardado.

Se um corpo for lançado verticalmente para baixo, no vácuo, com velocidade inicial v0, na descida a aceleração da gravidade é positiva e quando o corpo é simplesmente abandonado, sua velocidade inicial é zero, ou seja, v = 0. Esse movimento é chamado de uniformemente acelerado. Veja no esquema a seguir:

As equações diferenciais de 1ª ordem, para o estudo sobre a Queda dos corpos, terão que ser explicadas e usadas da forma de equações separáveis, pois vamos trabalhar apenas o caso em que há resistência do ar, ou seja, a equação diferencial será da forma g(y). = f(x).[pic 1]

Seja g(y) =  uma primitiva de g(y), então  = g e assim,.G(y(x)) = . = f(x),[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

. Logo, G(y(x)) =  (constante da integração).[pic 7][pic 8]

Resultados:

A primeira Lei de Newton, estabelece que um corpo permanece em repouso ou continua movendo-se a uma velocidade constante. A segunda Lei, diz respeito à força liquida que age sobre o corpo se for diferente de zero, essa força liquida é proporcional a sua aceleração a ou F = m.a, onde m é a massa do corpo. Agora, vamos supor que um corpo seja jogado para cima do topo de um prédio. A aceleração é a derivada segunda . Se desprezarmos a resistência do ar e assumirmos como positiva a aceleração para cima, obteremos a segunda Lei de Newton:[pic 9]

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