Mecânica dos Solidos

  [pic 1]                           

Questão 1

1. y(t) = iL(t)                         (1)

VL = VC = VR                        (2)

IC = C                        (3)[pic 2]

VL= L                                (4)[pic 3]

 = y’[pic 4]

Descrição matemática:

x(t) = iR + iC + iC                         de (1):

x(t) = iR + iC + y(t)                de (3):

x(t) = iR + C + y(t)                de (2):[pic 5]

x(t) = iR + C + y(t)                de (4):
x(t) = iR + LCy’’(t) + y(t)[pic 6]

x(t) =   + LCy’’(t) + y(t)         de (2):[pic 7]

x(t) =    + LCy’’(t) + y(t)        de (4):[pic 8]

x(t) =  + LCy’’(t) + y(t)        dividir por LC:[pic 9]

y’’(t) +  +  = [pic 10][pic 11][pic 12]

Em termos de Q(D) e P(D) temos:

(D2 +  + )y(t) = [pic 13][pic 14][pic 15]

        Aplicando a transformada de LaPlace nos dois lados temos:

        ℒ [D2y(t)] +   ℒ[Dy(t)] + ℒ[y(t)] =  ℒ[x(t)][pic 16][pic 17][pic 18]

        Sendo que:

        y(t) ⬄ y(s)        e        x(t) ⬄ x(s)

        Dy(t) ⬄ sy(s) – y(0-)

        D2y(t) ⬄ s2y(s) – sy(0-) – y’(0-)

        A equação no domínio da frequência:

        (s2 +  + )y(s) = (s + )y(0-) + y’(0-) + x(s)[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

        Portanto:

        y(s) =   + x(s)[pic 23][pic 24]

Portanto a função de transferencia é H(S) = [pic 25]

1. 1.          =         Exemplo de valores: R=1 C=2 L=8[pic 26][pic 27]

Neste caso os pólos de H(S) são reais e iguais(s1,2 = -0.25) e se encontram no SPE. Portanto o sistema converge exponencialmente criticamente amortecido.

2.         >         Exemplo de valores: R=0.5 C=1 L=4[pic 28][pic 29]

Neste caso os pólos de H(S) são reais(s1=-1.86 e s2=-0.13) e também estão no SPE. O sistema converge exponencialmente super amortecido.

3.         <         Exemplo de valores: R=3 C=4 L=2[pic 30][pic 31]

Neste caso os pólos de H(S) são complexos com parte real negativa. O sistema converge de forma sub-amortecida.

4.        R= ∞

Neste caso os pólos de H(S) são complexos e em cima do eixo imaginário. O sistema é marginalmente estável e tem forma  Acos(t/[pic 32]

Portanto ao quadruplicarmos o valor de C ou de L, o periodo T é multiplicado por 2.

Figura 1 - Diagrama de blocos generalizado

Casos:

1º

Figura 2 - Criticamente amortecido

        2º

Figura 3 - Super amortecido

3º

Figura 4 - Sub amortecido

        4º

Figura 5 - Marginalmente estável

1. Caso 3 temos valores de exemplo R= 3 C = 4 e L = 2.        x(t) = 5u(t) ⬄ x(s) = [pic 33]

H(S) =  = [pic 34][pic 35]

Yesn(s) = H(S)X(S) =  [pic 36][pic 37]

Pólos de H(S) =  (+-1 - j)[pic 38][pic 39]

Pólo de X(S) = 0

Expandindo em frações parciais:

Yesn(s) =  =  + [pic 40][pic 41][pic 42]

Coeficiente A:

A = sYesn(s) = |s=0 = 5[pic 43]

B e C:

Yesn(s) = [ + ][pic 44][pic 45][pic 46]

 = [  + Bs + C] [pic 47][pic 48]

Substituindo o valor de  s= (-1-j)[pic 49][pic 50]

 = [ (  + B + C[pic 51][pic 52][pic 53]

(-0.20833+j1.755) = (-0.20833 – j1.755) + 0.41667 + (-0.20833 +j1.755) +[pic 54]

(-0.20833+j1.755) + 0.41667 -041667 = [pic 55]

(-0.20833+j1.755) =   + C -  =>   = 1.755[pic 56][pic 57][pic 58]

Logo B = -5 e C = -[pic 59]

Yesn(s) =  -         , usando a linha 10d ta tabela da Transformada de Laplace:[pic 60][pic 61]

 = [pic 62][pic 63]

Então C =                  e         a = [pic 64][pic 65]

Temos que b =  = ,        portanto:[pic 66][pic 67]

Yesn(t) = 5 – 5e-t/24 *[cos() + sen(]u(t)[pic 68][pic 69][pic 70]

Como podemos ver, plotando esta expressão no matlab:

[pic 71]

Figura 6 - Código MatLab

Obtemos o gráfico:

[pic 72]

Figura 7 - Plot Matlab