Mecânica dos Solidos
Por: maxmuller • 17/8/2016 • Exam • 1.981 Palavras (8 Páginas) • 261 Visualizações
[pic 1]
Questão 1
- y(t) = iL(t) (1)
VL = VC = VR (2)
IC = C (3)[pic 2]
VL= L (4)[pic 3]
= y’[pic 4]
Descrição matemática:
x(t) = iR + iC + iC de (1):
x(t) = iR + iC + y(t) de (3):
x(t) = iR + C + y(t) de (2):[pic 5]
x(t) = iR + C + y(t) de (4):
x(t) = iR + LCy’’(t) + y(t)[pic 6]
x(t) = + LCy’’(t) + y(t) de (2):[pic 7]
x(t) = + LCy’’(t) + y(t) de (4):[pic 8]
x(t) = + LCy’’(t) + y(t) dividir por LC:[pic 9]
y’’(t) + + = [pic 10][pic 11][pic 12]
Em termos de Q(D) e P(D) temos:
(D2 + + )y(t) = [pic 13][pic 14][pic 15]
Aplicando a transformada de LaPlace nos dois lados temos:
ℒ [D2y(t)] + ℒ[Dy(t)] + ℒ[y(t)] = ℒ[x(t)][pic 16][pic 17][pic 18]
Sendo que:
y(t) ⬄ y(s) e x(t) ⬄ x(s)
Dy(t) ⬄ sy(s) – y(0-)
D2y(t) ⬄ s2y(s) – sy(0-) – y’(0-)
A equação no domínio da frequência:
(s2 + + )y(s) = (s + )y(0-) + y’(0-) + x(s)[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
Portanto:
y(s) = + x(s)[pic 23][pic 24]
Portanto a função de transferencia é H(S) = [pic 25]
- 1. = Exemplo de valores: R=1 C=2 L=8[pic 26][pic 27]
Neste caso os pólos de H(S) são reais e iguais(s1,2 = -0.25) e se encontram no SPE. Portanto o sistema converge exponencialmente criticamente amortecido.
2. > Exemplo de valores: R=0.5 C=1 L=4[pic 28][pic 29]
Neste caso os pólos de H(S) são reais(s1=-1.86 e s2=-0.13) e também estão no SPE. O sistema converge exponencialmente super amortecido.
3. < Exemplo de valores: R=3 C=4 L=2[pic 30][pic 31]
Neste caso os pólos de H(S) são complexos com parte real negativa. O sistema converge de forma sub-amortecida.
4. R= ∞
Neste caso os pólos de H(S) são complexos e em cima do eixo imaginário. O sistema é marginalmente estável e tem forma Acos(t/[pic 32]
Portanto ao quadruplicarmos o valor de C ou de L, o periodo T é multiplicado por 2.
Figura 1 - Diagrama de blocos generalizado
Casos:
1º
Figura 2 - Criticamente amortecido
2º
Figura 3 - Super amortecido
3º
Figura 4 - Sub amortecido
4º
Figura 5 - Marginalmente estável
- Caso 3 temos valores de exemplo R= 3 C = 4 e L = 2. x(t) = 5u(t) ⬄ x(s) = [pic 33]
H(S) = = [pic 34][pic 35]
Yesn(s) = H(S)X(S) = [pic 36][pic 37]
Pólos de H(S) = (+-1 - j)[pic 38][pic 39]
Pólo de X(S) = 0
Expandindo em frações parciais:
Yesn(s) = = + [pic 40][pic 41][pic 42]
Coeficiente A:
A = sYesn(s) = |s=0 = 5[pic 43]
B e C:
Yesn(s) = [ + ][pic 44][pic 45][pic 46]
= [ + Bs + C] [pic 47][pic 48]
Substituindo o valor de s= (-1-j)[pic 49][pic 50]
= [ ( + B + C[pic 51][pic 52][pic 53]
(-0.20833+j1.755) = (-0.20833 – j1.755) + 0.41667 + (-0.20833 +j1.755) +[pic 54]
(-0.20833+j1.755) + 0.41667 -041667 = [pic 55]
(-0.20833+j1.755) = + C - => = 1.755[pic 56][pic 57][pic 58]
Logo B = -5 e C = -[pic 59]
Yesn(s) = - , usando a linha 10d ta tabela da Transformada de Laplace:[pic 60][pic 61]
= [pic 62][pic 63]
Então C = e a = [pic 64][pic 65]
Temos que b = = , portanto:[pic 66][pic 67]
Yesn(t) = 5 – 5e-t/24 *[cos() + sen(]u(t)[pic 68][pic 69][pic 70]
Como podemos ver, plotando esta expressão no matlab:
[pic 71]
Figura 6 - Código MatLab
Obtemos o gráfico:
[pic 72]
Figura 7 - Plot Matlab
...