Modelagem E Controle Pid E Lqr Em Um Sistema De Pêndulo Invertido

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UNIVERSIDADE DO VALE DO TAQUARI - UNIVATES

CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

MODELAGEM E CONTROLE PID E LQR EM UM SISTEMA DE PÊNDULO INVERTIDO

Daniel Kuhn

Lajeado, Junho de 2018.

resumo

Dentro do ramo da engenharia de controle, o pêndulo invertido é considerado um clássico problema sendo citado dentro de diversas bibliografias, pois é um sistema não linear e instável em malha aberta, devido a estas particularidades diversas técnicas de controle podem ser exploradas. Nesta monografia serão estudadas e aplicadas 2 técnicas de controle (PID e LQR) para a estabilização do pêndulo invertido. Para se projetar o sistema de controle é obtido o sistema linearizado do modelo em torno do seu ponto de equilíbrio, do qual é projetado um sistema de controle PID através do LGR e um controle LQR através do espaço de estados sendo comparado o desempenho dos dois controladores utilizando o Matlab como ferramenta de simulação.

Palavras-chaves: Controlador LQR e PID, LGR, pêndulo invertido, Matlab, malha fechada e malha aberta.

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ABSTRACT

In the field of control engineering, the inverted pendulum is considered a classic of the problem being mentioned within several bibliographies, since it is a nonlinear and unstable system in open loop, due to these particularities several control techniques can be explored. In this monograph, two control techniques (PID and LQR) for a stabilization of the inverted pendulum were studied and applied. By designing the control system and obtaining the linearized system of the model around its equilibrium point, from which a PID control system is designed through the LGR and an LQR control through the state space, comparing the performance of the two controls Matlab as a simulation tool.

        Keywords: LQR and PID Controller, LGR, inverted pendulum, Matlab, closed loop and open loop.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Controle em malha aberta.        16

Figura 2 - Controle em malha fechada.        16

Figura 3 - Diagrama de blocos de uma função de transferência.        17

Figura 4 - Algumas não linearidades físicas.        18

Figura 5 - Linearização em torno do ponto A.        19

Figura 6 - Diagrama de blocos de sistema linear, contínuo no tempo, representado no espaço de estados.        22

Figura 7 - a) Sistema do pêndulo invertido. b) Diagrama de corpo livre.        23

Figura 8 - Diagrama de corpo livre.        24

Figura 9 - Posições do pêndulo invertido.        26

Figura 10 - Resposta transitória mostrando td, tr, tp, Mp e ts.        30

Figura 11 - Controlador PID.        32

Figura 12 - Sistema regulador ótimo.        35

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Resposta em malha aberta a um impulso        40

Gráfico 2 - Lugar geométrico das raízes com um ganho proporcional K        41

Gráfico 3 - Lugar geométrico das raízes com adição de um polo na origem        42

Gráfico 4 - Lugar geométrico das raízes compensado.        43

Gráfico 5 - Resposta a um degrau unitário.        43

Gráfico 6 - Resposta a um impulso com um controlador PID.        44

Gráfico 7 - Resposta a um degrau com um controlador LQR        46

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Dados utilizados nas simulações.        39

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LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

PID        Proporcional – integrativo – derivativo.

LQR        Linear quadratic regulator - Regulador linear quadrático.

LGR        Lugar geométrico das raízes.

SISO        Uma entrada e uma saída - Single input, single output.

MIMO        Múltiplas entradas e múltiplas saídas - Multiple input, multiple output.

SUMÁRIO

1 introdução        9

1.1 Objetivo geral        10

1.2 Objetivos específicos        11

1.3 Justificativa        11

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA        12

2.1 Controle clássico e controle moderno        12

2.2 Controle em malha aberta        13

2.3 Controle em malha fechada        14

2.4 Função de transferência        15

2.5 Sistemas não lineares e sua linearização        15

2.6 Equações no espaço de estados        18

2.7 Modelagem matemática do pêndulo invertido        20

2.7.1 Linearização das equações        23

2.7.2 Funções de transferência do sistema        24

2.7.3 Representação do sistema no espaço de estados        26

2.8 Controle PID através do LGR        27

2.9 Método de controle através do LQR        31

3 RESULTADOS        35

3.1 Simulação em malha aberta do pêndulo invertido        35

3.2 Análise através do LGR e projeto do controlador PID        36

5.3 Simulação do controlador LQR        40

4 CONCLUSÃO        43

5 referências        44

1.  introdução

Com o desenvolvimento de sistemas de controle cada vez mais sofisticados, devido aos avanços na área da tecnologia e da computação, que permitem estratégias de controle mais complexas e simulações de modelos matemáticos mais realistas, é possível simular, implementar e validar sistemas de controle com uma maior rapidez e precisão. Os estudos sobre sistemas de controles e estabilidade de sistemas sempre foi um campo de estudo muito importante dentro da área da robótica e automação. O problema do pêndulo invertido, representa muitas situações do nosso cotidiano, das quais podem ser analisadas a partir dos conceitos envolvidos em seu estudo. (SWANSON, 2011).