Método Axiomático

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

O MÉTODO AXIOMÁTICO

JOÃO PESSOA, 15/Janeiro/2014

INTRODUÇÃO

O presente trabalho é sobre o método axiomático, mais concretamente será abordado como estudar uma teoria pelo método axiomático, a importância desse método, a importância da obra de Euclides “os elementos”, mesmo sua obra não sendo considerada perfeita no ponto de vista lógico e a contribuição de David Hilbert com a publicação do livro Grundlagen der Geometrie.

O MÉTODO AXIOMÁTICO

O formalismo surgiu das conquistas realizadas pelo método axiomático, sendo seu criador e principal representante David Hilbert.  Existem vários adeptos a essa escola, como: Bernays, Curry, Ackermann, Herbrand, etc.

Uma teoria pode ser estudada pelo método axiomático da seguinte maneira: onde o primeiro passo é escolher os conceitos e axiomas primitivos, suficientes para sobre ela construir a teoria, considerando novas proposições como verdadeiras só mediante definições ou demonstrações. Sendo essa a axiomática material. A partir daí não convém mais, preocupar-se com os significados intuitivos dos conceitos primitivos. Já estando subtendidos esses significados, pelas proposições primitivas. Buscando, então as consequências do sistema obtido, e não mais, se preocupar com o significado inicial desses termos, ou seja, após a formulação simbólica da axiomática material obtém-se axiomática abstrata.

O método axiomático é de grande valor. Em primeiro lugar, ele nos conduz à economia de pensamentos quando se estuda axiomática abstrata. Em segundo, podem-se investigar, por sua intervenção, problemas relevantes, tais como a da equivalência de duas teorias, independência de axiomas, etc. Ou seja, sistematiza as teorias.

O método axiomático já vem sendo utilizado há muito tempo, já encontramos desde o tempo de Euclides. Em seus elementos. Euclides usou esse método para o desenvolvimento da geometria, mesmo sua obra não sendo considerada perfeita no ponto de vista lógico, pois em algumas vezes usou de postulados que não foram definidos anteriormente, o que de alguma maneira violava os princípios do método axiomático por ele proposto. O que não tira a grandiosidade da obra de quatrocentas e sessenta e cinco proposições, que pode ter sido o livro mais estudado do mundo, depois da Bíblia. Como diz Domingues, é um grande monumento matemático e o primeiro grande testemunho do poder do método dedutivo na Matemática. Segundo a tradição oriunda dos Elementos, para expô-la sistematicamente a geometria parte-se de determinadas noções primitivas, tidas com óbvias (ponto, reta e plano) e de certas proposições aceitas sem demonstrações (como por exemplo: “Dois pontos distintos individualizam uma reta”). Normalmente estas proposições dividem-se em duas categorias: a primeira pode-se denominar como categoria dos axiomas, compõe-se de afirmações que dispensa explicação, ou seja, é uma verdade universal, por exemplo: "O todo é igual à soma de suas partes"; na segunda, vem à categoria das proposições chamadas postulados, que exprimem propriedades estritamente geométricas, em algumas vezes não são tão óbvias quanto os axiomas, exemplo: "Por um ponto dado fora de uma reta, passa no máximo uma paralela a essa reta".