Método Runge Kutta

7.4- Métodos de Runge-Kutta

Neste estudo, continuamos desenvolver métodos que aproximem a solução do P.V.I. da

forma

î í ì

=

=

0 0 ( )

' ( , )

y x y

y f x y

.

A idéia básica destes métodos é aproveitar as qualidades dos métodos da série de Taylor e

ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de f (x, y) que,

conforme vimos, torna os métodos de série de Taylor computacionalmente ineficientes.

Podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem p se caracterizam pelas seguintes

propriedades:

i.) são de passo um (para calcular i y usamos apenas i-1 y );

ii.) não exigem o cálculo de qualquer derivada de f (x, y); no entanto, pagam, por isso, o

preço de calcular f (x, y) em vários pontos;

iii.) após expandir f (x, y) por Taylor para função de duas variáveis em torno de ( ) n n x , y

e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de série de

Taylor de mesma ordem.

Já vimos que o método de Euler é um método de série de Taylor de 1ª ordem:

'

n 1 n n y = y + hy + , n=0,1,2,... .

Então ( ) n n n n y = y + hf x , y +1 , n=0,1,2,... e assim o método de Euler satisfaz as propriedades

acima que o caracteriza como um método de Runge-Kutta de ordem p=11.

Esse método consiste em se fazer mudanças no método de Euler para se conseguir um

método baseado na série de Taylor de 2ª ordem, de tal forma que elimine o cálculo de derivadas

de 2ª ordem.

Definição 7.4.1: Sejam r um inteiro positivo e números reais ai, bi, bij, para i = 1(1)r2 e j = 1(1)r.

Denomina-se um método de Runge-Kutta com r estágios, ao método definido por:

( , ; ) 1 y y h x y h n n n n = + j + (1)

onde

å=

=

r

j

n n j j x y h b K

1

j( , ; ) (2)

com

å=

= + +

r

j

i n i n ij j K f x a h y h b K

1

( , ) , i = 1(1)r (3)

e

å=

=

r

j

i ij a b

1

i = 1(1)r (4)

Observe que (1) e (2) definem uma classe de métodos de passo um com tamanho h, isto é,

x x h n n = + +1 e as constantes reais ai, bi, bij identificam o particular método deste tipo. Por serem

métodos de passo um, o tamanho h (que poderia ser denotado por n h ) pode ser alterado a cada

passo, o que é uma característica desses métodos.

1 Mais para frente discutiremos com mais detalhes esta afirmação sobre a ordem do método.

2 A notação i=1(1)r significa que o i varia de 1 até r de um em um.

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Observe também que nos Métodos de Runge-Kutta o número r de estágios, identifica o

número de avaliações da função f que são necessárias a cada passo.

De acordo com Butcher (Butcher, 1987) podemos representar os coeficientes de um

método de Runge-Kutta numa forma mais compacta do seguinte modo:

1 a 11 b 12 b ... r b1

2 a 21 b 22 b ... r b2

... ... ... ... ...

ar r1 b r2 b ... rr b

1 b 2 b ... r b

a Bb

t

Podemos classificar os métodos de Runge-Kutta como:

Explícitos se = 0 ij b para i £ j;

Implícitos se ¹ 0 ij b para algum i ³ j.

Definição 7.4.2: O método de Runge-Kutta definido por (1) e (2) é consistente com o P.V.I. se

( , ;0) ( , ). n n n n j x y = f x y

Observação: Observe que o método de Runge-Kutta é consistente com o P.V.I. se, e somente se

1

1

= å=

r

j

j b .

Definição 7.4.3: Dizemos que o método de Runge-Kutta ( , ; ) 1 y y h x y h n n n n = + j + tem ordem de

consistência p se p for o maior inteiro tal que:

( ) ( ) ( , ( ); ) ( 1 )

1

+

+ - - = p

n n n n y x y x hj x y x h O h (5)

onde ( ) n y x é a solução exata do P.V.I em x = xn.

Ilustraremos