O COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE EULER, HEUN E RUNGE-KUTTA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO – UFERSA[pic 1]

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS, TECNOLÓGICAS E HUMANAS – DCETH

CAMPUS ANGICOS

BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

        

PEDRO THIAGO VILELA DE MENDONÇA

COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE EULER, HEUN E RUNGE-KUTTA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM.

ANGICOS – RN

2016

PEDRO THIAGO VILELA DE MENDONÇA

COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE EULER, HEUN E RUNGE-KUTTA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM.

Monografia apresentada a Universidade Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA, Campus Angicos para a obtenção do título de Bacharelado em Ciência e Tecnologia.

Orientador: Prof. Ms. Matheus da Silva Menezes - UFERSA

 

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LISTA DE TABELAS

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1:         Gráfico das funções L(x)  e f(x), onde L(x) é a reta tangente a f(x) no ponto               .        17[pic 2]

Figura 2:Gráfico mostrando a inclinação nos pontos  e .        18[pic 3][pic 4]

Figura 3: Gráfico mostrando a nova inclinação em  gerando uma nova reta                            (22)        18[pic 5][pic 6]

Figura 4: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A1        36

Figura 5: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A2        38

Figura 6: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A3        40

Figura 7: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A4        42

Figura 8: Gráfico das curvas das soluções analíticas e numéricas do problema A5        44

 

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO        7

1.1. OBJETIVOS        8

1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO        8

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA        9

2.1. CONCEITOS BÁSICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS        9

2.1.1. Classificação de uma ED        9

2.1.2. Solução de uma ED        11

2.2. CONCEITOS INTRODUTÓRIOS DOS MÉTODOS NUMÉRICOS DE PASSO ÚNICO PARA SOLUÇÃO DE PVI DE 1ª ORDEM        12

2.3. POLINÔMIO DE TAYLOR        13

2.3.2. Erro de truncamento local        14

2.3.3. Polinômio de Taylor para funções de duas variáveis        15

2.4. MÉTODOS DE EULER, HEUN E RUNGE-KUTTA        16

2.4.1. Método de Euler        16

2.4.2. Método de Heun        18

2.4.3. Métodos de Runge-Kutta        20

3. MATERIAIS E MÉTODOS        25

3.1. METODOLOGIA        25

3.2. ALGORÍTIMOS        27

3.3. PROBLEMAS        31

3.3.1. Problema A1        31

3.3.2. Problema A2        32

3.3.3. Problema A3        32

3.3.4. Problema A4        33

3.3.5. Problema A5        34

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES        35

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS        45

REFERÊNCIAS        46

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1. INTRODUÇÃO

        

Muitos problemas fundamentais da mecânica, biologia, física, química, economia, e nas diversas áreas da engenharia são dados em termos de variações espaciais e/ou temporais, e definem mecanismos de variação (CHAPRA, 2013, p. 547). A abordagem de tais problemas é feita através de equações diferenciais, que envolve uma função desconhecida e suas derivadas.

“Para a ciência, a invenção do cálculo diferencial foi um passo gigantesco. Pela primeira vez na história humana, a concepção de infinito, que tinha intrigado filósofos e poeta desde tempos imemoriais, tinha recebido uma definição matemática precisa, que abria inúmeras possibilidades novas para a análise dos fenômenos naturais” (CAPRA, 2006, p. 104).

Para trabalhar com tais mecanismos de variação dentro de uma função, há vários métodos analíticos para encontrar a solução de equações diferenciais. Contudo, segundo Barroso (1987, p. 275), nem sempre é possível obter uma solução analítica

Neste caso, os métodos numéricos são uma alternativa válida para se encontrar uma solução aproximada. Segundo Chapra (2013. p. 1), os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas para resolver problemas de modelagem matemática, devido a sua capacidade em lidar com um grande número de equações, não linearidades e geometrias complexas. Portanto é uma boa alternativa para se trabalhar com solução numérica de equações diferenciais.

Outro desafio, presente nos métodos numéricos, é obter uma solução numérica que se encaixe dentro de limites razoáveis, com o mínimo de erro possível. Portanto é muito importante ter conhecimento dos fatores que geram erros dentro da solução numérica, para procurar obter uma solução cada vez mais precisa.