Relatório de Seminário Equações Diferenciais de Runge-Kutta

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Universidade Estadual da Paraíba

Centro de Ciências, Tecnologia e Saúde

Departamento de Engenharia Civil

Relatório de Seminário

Equações Diferenciais de Runge-Kutta

        

Disciplina

Cálculo Numérico

Professor

Rafael de Brito Cândido Gomes

[e-mail]

Equipe

Camila Maria Lira de Sousa

Francisca Simone Pereira

Júlio Lopes da Silva

[e-mail]

[e-mail]

[e-mail]

Araruna

Julho de 2014

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Rafael de Brito Cândido Gomes

Professor

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Camila Maria Lira de Sousa

Francisca Simone Pereira

Júlio Lopes da Silva

(Grupo)

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ÍNDICE

1.0 - Introdução............................................................................................4

2.0 - Objetivos..............................................................................................6

2.1- Objetivos..........................................................................................6

2.2- Objetivos..........................................................................................6

3.0 - Fundamentação Teórica......................................................................6

3.1 - Descrição do Método de Runge-Kutta................................................7

3.2 - Métodos de Segunda Ordem...............................................................8

3.3 - Métodos de Quarta ordem...................................................................9

3.4 - Algoritmo...........................................................................................12

4.0 -Aplicações.........................................................................................14

4.1 Deflexões de Vigas........................................................................15

4.2 Circuito em Série............................................................................16

5.0 - Comentários......................................................................................16

6.0 - Conclusão..........................................................................................17

7.0 -Referências Bibliográficas.................................................................18

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Equações Diferenciais de Runge-Kutta

Universidade Estadual da Paraíba – UEPB

RESUMO

        O método de Runge-Kutta possibilita que em vez de se calcular as derivadas, se determine o valor de f várias vezes entre um intervalo de tempo tk e tk+1. Onde o exemplo mais simples de se encontrar seria o método de Euler modificado, onde este é um método de Runge-Kutta de segunda ordem. Entretanto, o método mais conhecido é o Runge-Kutta de quarta ordem. De maneira que para de avançar com o método no tempo não precisamos das informações sobre as soluções anteriores, o que faz dele um método “auto-iniciante” no principio da integração e torna fácil a mudança do comprimento do passo ao longo da integração. Tornam-se assim um método relativamente fácil de programar. Infelizmente os métodos de Runge-Kutta não propiciam uma estimativa do erro sobre a qual se possa basear a escolha do comprimento do passo.

Palavras-chave: Método de Euler modificado. Método de Runge-Kutta.Derivadas.

1.0 - Introdução

        Com o passar do tempo, o mundo acaba por se deparar com fenômenos voltados as áreas técnicas e cientificas que podem ser escritos de forma matemática por equações diferenciais que representam variações das quantidades físicas que os descrevem. De mesmo modo acontecem com os cálculos da integral de uma função, seus métodos analíticos aplicam-se apenas a alguns tipos de problemas. Desta forma recorre-se ao uso de métodos numéricos para chegar à solução de uma equação diferencial sujeita a uma dada condição, como o caso de sistemas massa mola ou sistemas de muitos corpos como é o caso da mecânica.

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO):

        Equações que derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de EQUAÇÃO DIFERENCIAL. Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, sendo relacionada com uma única variável dependente, chamamos esta de equação diferencial ordinária (EDO), agora se uma equação envolve derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes, chamamos de equação diferencial parcial (EDP).

Uma EDO de ordem n pode ser expressa da seguinte forma:

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        A solução de uma EDO é uma função que satisfaz á equação diferencial e que também satisfaz a certas condições inicias na função. Ao resolver uma EDO, analiticamente, encontra-se uma solução geral contendo constantes arbitrárias e, então, determinam-se essas constantes de modo que a expressão combine as condições iniciais.

        Traremos neste trabalho a resolução de equações diferenciais de segunda e quarta ordem pelo método de Runge - Kutta.

2.0- Objetivos

2.1 -Objetivo Geral:

                O referido trabalho buscou a analise detalhada do método de Runge-Kutta para a resolução de EDO, voltado aos PVI's.

2.2 - ObjetivosEspecíficos:

                (I) - Levantar as vantagens e desvantagens do método;

                (II) - Desenvolver um algoritmo em Python para o tema citado acima;

                (III) - Abordar algumas aplicações de equações diferenciais;

3.0 - Fundamentações Teóricas.

        Seja uma expansão da solução exata y(x), em série de Taylor, em torno do valor inicial x0.