Métodos: "Método puro de Newton" e "Método de Newton" na área de confiança

Na engenharia existem muitos problemas em que a solução analítica é inviável, sendo assim, os métodos numéricos criados por matemáticos e antigos estudiosos passaram a ser melhorados a fim de obter uma melhor precisão. Nesta pesquisa, os métodos abordados foram: Método de Newton Puro e Método de Newton por região de confiança.

Foram analisados dois sistemas físicos: O primeiro deles e o sistema Biela-manivela, confeccionado matematicamente a fim de estudar a função.

Aceleração, e o segundo sistema físico provem da associação de três elementos básicos da eletrônica, um resistor, um capacitor e um indutor.

No método de Newton Puro a programação linear ou não linear, às vezes chamada de otimização, busca-se maximizar ou minimizar algum objetivo (uma função). Quando esta função não tem nenhuma restrição o problema tratado e irrestrito. As grandezas apresentadas se fazem necessárias para a expansão truncada ate o segundo termo, da serie de Taylor, da função f que possibilita a solução do sistema de equações não lineares representado por F.

Para um ponto inicial arbitrário o método de Newton pode não convergir. A estratégia de região de confiança globaliza o método de Newton, ou seja, a convergência independe do ponto utilizado para iniciar o método. Na estratégia conhecida como região de confiança as informações obtidas sobre f são utilizadas para construir um modelo para a função, cujo comportamento deste modelo em uma região próxima ao atual valor xk e similar ao comportamento da função f na região em torno de xk, o modelo quadrático pode não ser uma boa aproximação de f quando x+ esta distante de xk , restringe-se a procura de busca para um minimizador do modelo em alguma região em torno de xk, ou seja, se a solução não produz um decréscimo suficiente em f, conclui-se que a região não é adequada.

O método de região de confiança e um método que gera passos fazendo uso de um modelo quadrático local para uma função objetivo a qual e não linear. O método de região de confiança define uma região em torno do valor atual da iteração, xk, na qual se confia que o modelo e adequado a função objetivo, e então nesta região se obtém o passo que será o minimizador aproximado do modelo. Com efeito, este método escolhe a direção e o comprimento do passo simultaneamente. Se um passo não e aceito, reduz-se a região de confiança e encontra um novo minimizador. Em geral, a direção do passo muda quando o tamanho da região de confiança e alterado. Outras formas de solucionar estes problemas podem ser encontradas, por exemplo, em DENNIS JR e SCHNABEL (1983) e NOCEDAL e WRIGHT (1999). O valor é escolhido como critério de parada, como sugestão e=10^ -2.

No método de região com confiança quando o minimizador do primeiro modelo quadrático e recusado opta-se por modificar o subproblema diminuindo seu domínio de atuação e a próxima tentativa e calculada solucionando um novo subproblema. De forma contraria ao método de busca linear os algoritmos baseados em região de confiança se adaptam com bastante naturalidade a diversos problemas com restrições.

Um sistema biela-manivela do movimento um pistão pode ser representado matematicamente por meio de uma função, obtida por um método de modelagem matemática. Os pontos críticos representam as características do sistema em um determinado intervalo de tempo, ou seja, cada ponto da função, derivada ou não, vai indicar características como posição, velocidade ou aceleração. Segundo Gerardin (2005) em motores de combustão interna por exemplo, o conhecimento da função velocidade e importante quando se estuda o desgaste do material e esforços mecânicos quando se vai projetar a maneira de lubrificação adequada do mesmo. Assim e modulada uma função para um