O Departamento de Física, Universidade Federal do Espírito Santo

Dimensão Fractal

Gabriel D. Hoffmann, Guilherme Mardegan e Matheus Gonçalves

Departamento de Física, Universidade Federal do Espírito Santo,

Av Fernando Ferrari 514, Goiabeiras – Vitória/ES, 29075-910, Brasil

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Resumo.  No experimento em questão foi analisado a relação entre massas e diâmetros de esferas de papel, o experimento foi realizado repartindo uma folha de papel em 7 partes (sendo uma o dobro do tamanho da outra) e fazendo esferas com as mesmas, posteriormente medindo o diâmetro das mesmas com um paquímetro e fazendo um gráfico com os dados obtidos assim obtendo a relação entre  massa e o diâmetro das esferas com a intenção de verificar qual seria a dimensão fractal, como resultado foi concluído que o valor da dimensão fractal foi de 2,91 ± 0,92.

Palavras chave: massa, diâmetro, esfera

Introdução

Existem diversos fenômenos observáveis que a geometria euclidiana não pode explicar. Para resolver esses problemas foi criada a concepção de fractais que serve para resolver problemas com formas geométricas irregulares.

Será utilizado o conceito de dimensão fractal que significa a quantidade de dimensões que um objeto ocupa, por exemplo, d =0 é a dimensão de um ponto, d=1 é uma linha, d =2 um plano, d=3 um objeto de 3 dimensões e assim por diante.

O objetivo da experiência será medir a dimensão fractal das esferas de papel e relacionar as massas das esferas com a massa delas.

Para esse objetivo será usado a relação M = Nrd em que N é uma constante, r um comprimento característico, (no nosso caso o raio das esferas) e d é a dimensão

Procedimento Experimental

O procedimento realizado pode ser dividido em etapas, a primeira é dividir uma folha de papel nos pedaços a serem utilizados, primeiro se divide a folha em duas partes iguais, com uma dessas partes se divide em outras duas partes iguais e repete o processo ate ter 7 pedaços de folha sendo que um deve ser o dobro do outro como na figura 1:

[pic 1]

Figura 1: Exemplo do recorte da folha

Após essa etapa devemos fazer uma esfera de papel com cada um dos pedaços de folha obtidos como na figura 2:

[pic 2]

Figura 2: Esferas feitas a partir dos pedaços de folha

Após fazer as esferas é necessário medir o raio das mesmas, o que será feito com o auxilio de um paquímetro para medir o diâmetro e em seguida dividir por 2 para achar o raio.

O próximo procedimento será fazer uma tabela com uma coluna indicando a massa das esferas em que a esfera menor tem massa 1m (constante) a 2 esfera tem massa 2m, a terceira tem massa 4m, a quarta tem massa 8m... (contando da menor esfera para a maior) e outra coluna relacionando o raio das mesmas.

Vale lembrar que não é possível, com os equipamentos utilizados sabermos algumas medidas de forma exatas, e principalmente nesse experimento devemos considerar as incertezas, pois as “bolinhas” de papel não são esferas perfeitas, logo podendo assim com o mesmo paquímetro encontrar diâmetros diferentes pois a esfera na verdade estará achatada, outro ponto de incerteza é gerado na hora de fazer as esferas, visto que para uma bolinha pode se usar mais força do que para outra, ocasionando em esferas mais compactas que outras, tirando parte da precisão do experimento. Também temos o fato de estarmos medindo com um paquímetro (aparelho relativamente preciso) uma esfera que tem grande incerteza. (diferenças de diâmetro, de densidade...).

Logo é fundamental calcular a incerteza, que no experimento realizado foi calculando o diâmetro da maior esfera por diversas pessoas, e fazendo a média do valor para ter o valor da bolinha e calculando a incerteza a partir desses valores.

A tabela que relaciona a massa e o raio no experimento realizado está representada na figura 3:

[pic 3]

Figura 3: Tabela relacionando a massa da esfera e o diâmetro medido.

A incerteza foi calculada tomando como base a incerteza da maior esfera foram medidas diversas vezes o raio da esfera e foram obtidos os valores de raio: 13.70 ,  13.90  , 12.85  , 13.8  e  13.45 com isso a incerteza é de 0,37 (todas as medidas em centímetros).

Com os dados obtidos na tabela foi usada a relação: M = Nrd  onde M é a massa da esfera e r o raio da esfera.

Porém para linearização dos dados ambos os lados da equação foram colocados em função do logaritmo natural na forma: lnM = lnN + dln r para no final na realização do gráfico termos algo como uma função de primeiro grau na forma: y=ax+b.

Resultados e Discussão

De acordo com a previsão teórica, o gráfico deveria ser da forma y = ax +b, logo a forma do gráfico deveria ser uma reta perfeita, onde a inclinação da reta deveria ser a dimensão fractal, que deveria ser uma constante.

Foi possível observar que os valores dos diâmetros das esferas tinham uma grande incerteza, mas isso já era esperado visto que as esferas eram irregulares e bolinhas diferentes não necessariamente eram apertadas com a mesma força, além que a própria medição poderia deforma-las.