O aspecto das integrais

Passo 1

Surgimento das integrais

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram distintamente ao teorema fundamental do cálculo.

Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivação, descrita em qualquer tempo proposto.

Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivação, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivações.

Integrais Indefinidas

Definição:

A integral indefinida tem uma estrita relação com derivada então podemos dizer que a mesma é um processo de obter uma função a partir de sua derivada que é chamado de antiderivação ou integração indefinida.

Diz-se que a função F (x) é uma primitiva da função F(x) a expressão F(x) + C é chamada de integral indefinida da função F(x) é denominada por: ∫▒█(f(x) dx = f(x) + C onde:@ )

∫▒〖é chamado de sinal de integração f(x) é a função integrando.〗

d(x) a diferencial que serve para identificar a variável de integração.

C é a constante.

Integrais definidas

Definição:

A integral definida esta ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer, o cálculo de área é feito usando o método do retângulo de uma região R compreendida entre o gráfico de uma função F(x) com valores positivos, o eixo x, em um intervalo fechado [a e b] e sabendo que primeiro devemos encontrar a inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob a curva entende – se que a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva.

Podemos dizer que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer sendo que a integral e a derivada são duas noções básicas em torno das quais se desenvolve o cálculo.

Para melhor entender o que foi expresso colocamos duas figuras para mostrar o que foi dito.

Na figura em que esta feita a divisão do intervalo [a e b] em n subintervalos por meio dos pontos:

X_0 ,X_1 ,X_2 ,…,X_(t-1) ,X_t ,X_n

Escolhido arbitrariamente da seguinte maneira:

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:  da?

a^4- (3a^2)/2+ ln|3a|+ C

F(a)=a^4/12- 3/2a²+ 3ln|a|+ C

a^4- (3a^2)/2+ ln|3a|+ C

a^4- (3a^2)/2+ ln|3a|+ C

a^4- (3a^2)/2+ ln|3a|+ C

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu

exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: e^0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

Desafio D

A área sob a curva y= e^(x/2) de x=-3 a x=2 é dada por:

(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

Passo 3

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos

realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).

Solução: