O modelo de feixe Euler-Bernoulli

Modelo de viga de Euler-Bernoulli

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Deformação de uma viga devido a uma carga vertical uniformemente distribuida.

O modelo de viga de Euler-Bernoulli é uma simplificação da teoria linear da elasticidade que fornece meios de calcular as características de deflexão de uma viga sob um determinado carregamento (estático ou dinâmico), a qual é constituída por uma equação diferencial parcial linear de quarta ordem. O nome viga de Euler-Bernoulli foi dado após Jakob Bernoulli ter realizado descobertas significativas para o avanço desta teoria. Leonhard Euler e Daniel Bernoulli foram os primeiros a unir essas descobertas numa só teoria por volta de 1750.1 2 Ambos foram orientados por Jakob Bernoulli na Universidade de Basileia, Suíça.

Índice [esconder]

1 Considerações físicas

2 Condições iniciais e de contorno

3 Soluções estacionárias

4 Oscilações livres

5 Referências

Considerações físicas[editar | editar código-fonte]

Hipótese de pequenas deformações (alto): as seções transversais permanecem planas e perpendiculares à curva neutra.

Para grandes deformações (baixo): as hipóteses não são mais respeitadas.

A derivação da equação de Euler Bernouilli envolve as seguintes hipóteses físicas:3

O formato da viga é um prisma reto, cujo comprimento é muito maior que as outras dimensões.

A viga é constituída de um material linearmente elástico.

O Coeficiente de Poisson é negligenciável.

A seção transversal é simétrica em relação ao plano vertical, de forma que a linha neutra está contida nele.

Planos perpendiculares à linha neutra permanecem planos e perpendiculares depois da deformação.

O ângulo de rotação é muito pequeno.

O efeitos de momento de inércia de rotação é desprezado

A energia envolvida no cisalhamento é desprezada.

A viga é constituída de material homogêneo com densidade ρ

Consideraramos a viga não deformada como composta de infinitos feixes longitudiais de comprimento L. Quanto a viga sofre flexão, as fibras próximas à superfície côncava se contraem e as fibras próximas à superfície convexa devem se distender. A superfície que separa a região de compressão da região de distensão (onde o comprimento permanece inalterado) é chamada de superfície neutra A intersecção entre superfície neutra e o plano de simetria (hipótese 5) é chamada de linha neutra.

Escolhemos um sistema de coordenadas cartesiano de tal forma que a linha neutra da viga não deformada repouse sobre o eixo x entre os pontos x=0 e x=L. Vamos supor então que a viga assume vibrações transversais, isto é, suas partículas podem se mover apenas da direção vertical. Desta forma a linha neutra pode se delocar. Vamos denominar v(x,t) a altura da linha neutra no instante t e na posição x.

Aplicando a terceira lei de Newton ao trecho da viga localizado entre x e x+Δx, obtemos a seguinte expressão:

\int_{x}^{x+\Delta x}A\rho v_{tt}(x,t)dx = \sum \hbox{forças verticais}

As forças verticais atuando no elemento de viga consideradas são:

Peso por unidade de distância: -A \rho g\,

Forças verticais por unidade de distância aplicadas sobre a superfície da viga denotadas por -f(x,t).

Força dissipativa por unidade de distância representando as perdas de energia com a vibração, supondo uma lei simplificada: -kv_t(x,t)\,, onde k é uma constante positiva.

Força líquida devido à tensão de cisalhamento: A\left(V(x+\Delta x,t)-V(x,t)\right)\,

Usando a definição de derivada parcial:

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{V(x+\Delta x,t)-V(x,t)}{\Delta x} = \frac{\partial}{\partial x} V(x,t)=V_x(x,t)\,,

chegamos à seguinte equação:

A\rho v_{tt}(x,t)=V_x(x,t) -f(x,t)- A\left[kv_t(x,t)+\rho g\right]

Observamos que o esforço cortante, V ainda é uma incógnita, para relacioná-lo com a deformação v(x,t), utilizaremos o conceito de momento fletor, responsável pela flexão da viga. O acréscimo de momento é dado por:

M(x+\Delta x,t)-M(x,t) =- \int_{x}^{x+\Delta x} V(x,t)dx\,

de forma que, tomando limites, temos:

\frac{\partial}{\partial x}M(x,t)=M_x(x,t) =- V(x,t)\,

Denotamos agora por s(x,z,t) a tensão elástica oriunda da deformação da viga. Da definição de momento, temos:

M(x,t)=\int_A\sigma(x,z,t)zdA \,

Se considerarmos que a linha neutra pode ser localmente aproximadada por uma circunferencia de raio R, temos:

\sigma(x,z,t)=E \frac{z}{R}\,

onde E é o módulo de Young. Portanto, temos:

M(x,t)=\int_AE\frac{z^2}{R}dA=\frac{E}{R}I \,

onde I é o momento de inércia de área da seção transversal. Observa-se aqui, que do fato de não haver forças longitudinais aplicadas nos extremos da viga, temos que:

0=\int_A\sigma(x,z,t)dA= \frac{E}{R}\int_AzdA\,

e, portanto, a linha neutra atravessa com o centro de massa de área da seção transversal. O raio R de curvatura da linha neutra é dado por:

R^{-1}=\frac{u_{xx}}{\left(1+v_{x}^2\right)^{3/2}}

sob a hipótese de pequenos ângulos, |v_x|<<1\, e portanto o momento fletor é dado por:

M=EIv_{xx}(x,t)\,

E assim,