OPERAÇÕES COM COMPLEXOS

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LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS - 2009 - GABARITO

1.  Calcule as seguintes somas: (somam- se as partes reais e as partes imaginárias separadamente)

            a) (2 + 5i) + (3 + 4i)                                                                    b) i + (2 - 5i)

   = (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i                                                          = i + 2 – 5i = 2 – 4i                  

2.  Calcule as diferenças: (subtraem-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente)

        a) (2 + 5i) - (3 + 4i)                                                                   b) (1 + i) - (1 - i)

   = 2 + 5i – 3 – 4i = - 1 + i                                                                = 1 + i – 1 + i = 2i      

3.  Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a soma ou subtração)

        a) (2 + 3i) (3 - 2i)                                                                     b) (1 + 3i) (1 + i)

 = (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i)                                               = (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i)

= 6 – 4i + 9i – 6i2 = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i                                         = 1 + i +3i + 3i2 = 1 + 4i – 3 = - 2 + 4i

4.  Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o número é multiplicado por -1)

    a) 3 + 4i = - 3 – 4i        b) -3 + i = 3 - i            c) 1 - i = - 1 + i                 d)  -2 + 5i = 2 – 5i

5.  Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: (troca-se o sinal da parte imaginária)

        a) 3 + 4i = 3 – 4i                                                                             b) 1 - i = 1 + i

      

6.  Efetue as seguintes divisões de números complexos:

Solução. Elimina-se a parte imaginária do denominador com técnicas semelhantes às da racionalização. Nesse caso multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

            a)    [pic 3]                                                                                       b)    [pic 4] 

[pic 5]                      [pic 6]

7.  Calcule as potências: (Regra dos produtos notáveis: quadrado da soma)

               a)     (1 + i)2                                                                                            b)    (-2 + i)2

= (1)2 + 2.(1)(i) + (i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i                                        = (-2)2 + 2.(-2)(i) + (i)2 = 4 – 4i – 1 = 3 – 4i

8.  Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1).i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução. Para que o complexo seja imaginário puro, a parte real deve ser nula (z = 0 + bi) e a parte imaginária diferente de zero (bi ≠ 0). Temos:

i) [pic 7]     ii) [pic 8]

Unindo as duas condições, temos que: m = 2 ou m = 3.

9.  Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .

Solução. No exercício 7 foi calculado que (1 + i)12 = 2i. O número 12 = 2 x 6. Logo a potência pode ser escrita como ((1 + i)2)6 = (2i)6 = (2)6.(i)6 e lembrando que (i)4 = 1, temos: (1 + i)12 = (64).(i)4.(i)2 = - 64.

OBS: Lembre que na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se esta e somam-se os expoentes. Essa propriedade foi utilizada em: (i)6 = (i)2+4 = (i)2.(i)4.

10. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180

Solução. A propriedade acima será utilizada em todos os termos. Basta encontrar as potências múltiplas de 4, pois i4 = 1.

[pic 9]

Lembrando que: i2 = -1; i3 = -i e i4 = 1, temos:

[pic 10]

11. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .

Solução. Calculando as formas algébricas de “z” e “w”, temos:

[pic 11]

Identificando as partes reais e imaginárias de cada número e efetuando a expressão pedida, temos:

1. [pic 12]                                b) [pic 13]

[pic 14]

12. (UCMG) - O número complexo 2z, tal que 5z + [pic 15]= 12 + 6i é:

Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação mostrada, temos:

[pic 16]

OBS: Dois números complexos são iguais se suas partes reais e imaginárias são iguais.