Os Sinais e Sistemas Atividade A3

Sinais e Sistemas Atividade A3: Fabio paiva da silva Matrícula:2022112046 

Um dos grandes desafios da engenharia é encontrar métodos e ferramentas que facilitem a resolução de problemas nas mais diversas áreas. Na engenharia elétrica a análise de circuitos elétricos, dos mais simples aos mais complexos, nem sempre é uma tarefa fácil, isto porque, existem várias técnicas que podem ser usadas para encontrar uma solução, entretanto, cabe ao engenheiro identificar o melhor método analítico, de modo a levá-lo mais rapidamente a uma resposta. Nesta perspectiva, uma ferramenta matemática que pode ser utilizada com o objetivo de simplificar a resolução de circuitos elétricos é a transformada de Laplace, que, de acordo com, são frequentemente usadas por físicos e engenheiros como atalho para solução de problemas e para estudos de fenômenos transitórios e permanentes. Segundo a transformada de Laplace é atraente para análise de circuitos pois transforma um conjunto de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes em um conjunto de equações algébricas lineares, que são mais fáceis de manipular, além disso, incorpora os valores iniciais das correntes e tensões automaticamente nas equações algébricas, logo, as condições iniciais são uma parte inerente do processo de cálculo da transformada. Diante desse contexto, o presente trabalho busca analisar a importância das transformadas de Laplace na análise de circuitos elétrico, compreender como os cálculos são reduzidos ao utilizar essa ferramenta, bem como conhecer como os componentes básicos de um circuito elétrico são modificados quando transformados para o domínio da frequência. Além disso, serão destacados dois comportamentos dos circuitos elétricos: quando submetidos a uma fonte de tensão contínua (resposta ao degrau) e quando submetidos a uma fonte de tensão alternada (resposta transitória), dessa forma, irá ser aplicado o método das transformadas de Laplace, e então, será possível identificar como a resolução dos circuitos pôde ser facilitada, bem como pôde ser obtida uma solução completa.

Definição das transformadas de Laplace De acordo com, seja F(t) uma função de t definida para t>0. Então, a transformada de Laplace de F(t), denotada por ℒ {F(t)}, é definida por:

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 “A transformada de Laplace é uma transformação integral de uma função f(t) no domínio do tempo para o domínio da frequência complexa, fornecendo F(s).”

Propriedades das transformadas de Laplace A aplicação das propriedades das transformadas de Laplace torna possível obter a transformada sem usar diretamente a equação, o que facilita e diminui os cálculos até encontrar a resposta final. As principais propriedades, são: linearidade; fatores de escala; deslocamento no tempo, deslocamento de frequência; diferenciação no tempo; integração no tempo; diferenciação em frequência; periodicidade do tempo e valores inicial e final. Afim de otimizar o conteúdo deste trabalho, será abordada apenas a propriedade de valores inicial e final, já que esta especificidade das transformadas permite conhecer melhor o comportamento dos circuitos elétricos em um instante de tempo inicial e infinito.

Valores Inicial e Final Segundo os teoremas dos valores inicial e final fornecem as informações de certas aplicações quando t ➝ 0 e t ➝ ∞, a partir do conhecimento de sua transformada de Laplace f(s).

 O teorema de valor inicial afirma que se f(t) e sua derivada 𝑑𝑓/𝑑𝑡 podem ser transformadas por Laplace, então:[pic 2]

O teorema do valor final afirma que se f(t) e sua derivada 𝑑𝑓/𝑑𝑡 podem ser transformadas por Laplace, então: [pic 3]

Transformadas Inversas Para transformar a função encontrada no domínio da frequência de volta para o domínio do tempo são usadas as transformadas inversas. De acordo com a transformada de Laplace inversa é, na verdade, uma outra integral. Porém, o cálculo dessas integrais requer o uso de variáveis complexas, logo, demanda um estudo que está além da finalidade deste trabalho. Desta forma, tem-se que, para encontrar a transformada inversa de uma função, será necessário utilizar o método da expansão por frações parciais, e, em seguida, consultar uma tabela de transformadas, que contém os pares das transformadas de Laplace, ou seja, o comportamento da função no domínio do tempo e o comportamento da função no domínio da frequência, portanto, é possível então manipular a transformação de um domínio para o outro. Esta tabela pode ser encontrada em plataformas digitais ou qualquer bibliografia que aborde este tema, já que é essencial no estudo das transformadas.

Aplicações das transformadas de Laplace nos componentes do circuito elétrico Um circuito elétrico pode ser composto por diversos componentes, estes, podem ter características de dissipadores ou armazenadores de energia. Neste trabalho serão abordados apenas circuitos RLC, ou seja, circuitos que contém: resistores, indutores e capacitores. Tais elementos básicos serão transformados para o domínio da frequência quando submetidos à transformada de Laplace

Resistores São elementos de circuito utilizados para modelar o comportamento da resistência à corrente de um material. A Figura 1 mostra a simbologia de um resistor.

Tem-se que a resistência é medida em Ohms, e estabelece uma relação com a tensão e corrente, em

que: 𝑣(𝑡) = r𝑖 Onde v(t) é a tensão no resistor no domínio do tempo; r é a resistência e i(t) é a corrente que passa pelo resistor no domínio do tempo.

[pic 4]

Figura 1

Como r é uma constante, a transformada de Laplace da equação 4 é: 𝑉 = 𝑅𝐼 (5) Em que, V=ℒ{v}e I=ℒ{i}

Indutores O indutor é um componente elétrico que se opõe a qualquer alteração na corrente elétrica. É composto por um condutor espiral, enrolado em um núcleo de suporte cujo material pode ser magnético ou não-magnético. A Figura 2 mostra a simbologia de um indutor. Figura 2: Simbologia do indutor A tensão em um indutor pode ser dada por: 𝑣(𝑡) = 𝐿 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 (6) Onde v(t) é a tensão no indutor no domínio do tempo, L é a indutância do indutor, que é dada em Henry (H), e 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 é a derivada da corrente em função do tempo. Extraindo a transformada de Laplace

𝑉(𝑠) = 𝐿[𝑠𝐼(𝑠) − 𝑖(0 −)] = 𝑠𝐿𝐼(𝑠) −𝐿𝑖(0−)

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Figura 2

Capacitores O capacitor é um componente elétrico formado por duas placas condutoras separadas por um isolante. Sua simbologia poder ser vista na Figura 3. É o único dispositivo, exceto a bateria, capaz de armazenar carga elétrica. Figura 3: Simbologia do capacitor A corrente em um capacitor pode ser dada por: 𝑖(𝑡) = 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡  Onde i(t) é a corrente no capacitor no domínio do tempo; C é a capacitância do capacitor, dada em Faraday (F), e 𝑑𝑣 𝑑𝑡 é a derivada da tensão do capacitor em função do tempo. Aplicando a transformada de Laplace para transformar para o domínio do tempo, tem-se: 𝐼 = 𝐶[𝑠𝑉 − 𝑣(0 −)]