Oscilações - Ressonância

Oscilações - Ressonância

(Microondas, Tacoma e edifícios)

Prof. Luiz Ferraz Netto

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Introdução

Oscilações e vibrações são comuns nos objetos que nos rodeiam, quer nas estruturas e máquinas que construímos, quer ao nível microscópico, nos átomos e nas moléculas. Na Física do Ensino de 3o grau você poderá compreender melhor o 'modelo' do oscilador harmônico, mas aqui vai um resumo 'rasante' desse magnífico modelo básico no mundo das oscilações.

Antes de apresentarmos algumas situações curiosas do nosso quotidiano, vamos primeiro oferecer um pouco de Dinâmica das Oscilações. Recomendamos, por outro lado, que veja os artigos já publicados na Sala 04 relativos à Cinemática do MHS.

Um oscilador harmônico está sujeito a forças cuja resultante deve ser de restituição e do tipo elástica. Para caracterizar o movimento do oscilador harmônico, tenhamos em consideração que a força elástica exercida sobre uma partícula de massa m, quando a afastamos da posição de equilíbrio, é uma força de restituição F porque se opõe ao afastamento x do ponto de equilíbrio. Existem muitos sistemas em que a resultante F é proporcional a x (veja vários deles em nosso item 05 da Sala 14).

Nesses casos é válida a expressão F = - k.x, sendo k > 0 a constante elástica do oscilador. Em outros sistemas esta expressão só é aproximadamente válida. Consideram-se em tais casos apenas oscilações de pequenas amplitudes. Eis a matemática do processo:

Como, de acordo com a segunda Lei de Newton, para um objeto de massa m, sujeito à força resultante F, temos:

obtém-se a seguinte equação do movimento:

se definirmos w2 = k/m. O símbolo d2x/dt2 representa a segunda derivada de x. Fisicamente, é a aceleração da massa m. A solução desta equação diferencial de 2ª ordem é uma função em seno ou cosseno (optamos pela solução seno):

Nesta solução aparecem duas constantes que dependem das condições iniciais do movimento (são duas porque a equação é de segunda ordem). Uma delas, A, é a amplitude do movimento [maior valor que a x(t) pode assumir]. A outra, d (letra grega delta), representa indiretamente a posição do corpo no instante inicial [x(0) = A.send].

O período da oscilação é

A solução da equação do movimento x(t) está representada graficamente na fig. 1.

Contudo, nos sistemas macroscópicos reais, além da força de restituição estão sempre presentes forças resistivas. O oscilador harmônico é, nestas condições, amortecido. Generalizando o resultado anterior, percebemos que a solução da equação do movimento é x1(t) no caso do efeito das forças resistivas ser pouco significativo e x2(t) no caso da força resistiva ser muito intensa impedindo mesmo a oscilação. Estas soluções estão representadas graficamente nas figs. 2 e 3, acima.

Na situação da força resistiva não ser suficientemente forte para eliminar as oscilações, a freqüência do movimento w1vem atenuada em relação a wo.

Considerou-se irrelevante, nos casos anteriores, a força que levou o oscilador ao movimento. No entanto, podemos considerar um sistema sujeito à aplicação de uma força exterior (além da onipresente força de atrito). Vamos supor que esta força tem uma forma senoidal, sendo do tipo F(t)=Focos(wt) já que qualquer função pode ser escrita como uma soma de funções senoidais (análise de Fourier). Fo representa a amplitude da força e w a sua pulsação (freqüência angular).

Quando ocorre esta situação, o oscilador acaba sempre por oscilar com a freqüência imposta pela força exterior, já que o atrito atenua a oscilação com a freqüência própria wo. Contudo, o sistema responde a esta imposição de maneira diferente para cada freqüência wo. A curva A em função de w representada acima depende de um fator l (lambda) que se designa por coeficiente de amortecimento. Para w = 0 a amplitude é Ao, que representa a amplitude da oscilação na ausência da força exterior. O gráfico tem o seu máximo para w @ wo. Nesta zona de freqüências a amplitude das oscilações é especialmente grande e a este fenômeno dá-se o nome de ressonância. No caso especial de o atrito ser nulo, l = 0, para w @ wo as oscilações têm amplitudes infinitas!

Vamos agora expor algumas aplicações quotidianas envolvidas com esse tema.

A ressonância tem importância capital nos sistemas que estejam sujeitos a vibrações, de qualquer tipo. Notar que, apesar de termos pensado em x como uma grandeza espacial, qualquer grandeza física pode estar sujeita a oscilações. Por exemplo: o som que ouvimos não é mais do que a pressão do ar a oscilar; a luz é a propagação da oscilação dos campos elétrico e magnético. Também a corrente elétrica tem comportamento semelhante quando no circuito existem capacitâncias ou indutâncias. Recomendamos que veja detalhes sobre isso no artigo "16 em 1 ... o MHS", da Sala 18.

Nuns casos, como na vibração dos edifícios, das hélices ou dos motores, pretende-se construí-los de forma a minimizar a amplitude desses movimentos. Noutros, como no caso do circuito de uma antena, interessa obter grandes amplitudes de oscilação para emitir ou captar ondas de uma certa freqüência.

Vibrações dos edifícios

Com base neste estudo, podem construir-se edifícios anti-sísmicos limitando assim estragos que possam acontecer. Quando ocorre um sismo, uma construção é sujeita a uma força exterior, com uma determinada freqüência (na realidade é uma sobreposição de várias freqüências). Se o edifício tiver a sua freqüência própria (também são várias) próxima das freqüências impostas pelo sismo, as amplitudes tornam-se grandes e podem destruir edifícios. Existem duas formas para evitar a destruição sísmica: aumentar as forças resistivas de forma a diminuir as amplitudes das oscilações na zona de ressonância;