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Prova de Cálculo Numérico

Por:   •  3/6/2023  •  Exam  •  1.181 Palavras (5 Páginas)  •  80 Visualizações

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Prova de Cálculo Numérico

1-

  1. Para o número a = 6.6667, representa-lo na forma da notação de ponto flutuante como:

sinal: + mantissa: 66667

expoente: 0

Já para o número 1, precisamos escrever como decimal em uma forma finita:[pic 1]

3

B = 0,33333...

Para representar b na aritmética de ponto flutuante, precisamos truncar ou arredondar o número para 5 dígitos significativos. Se truncarmos, temos:

sinal: + mantissa: 33333

expoente: -1

Agora, podemos calcular a expressão a^2 − 4ab + 2b^2 usando as representações de a e b na aritmética de ponto flutuante que encontramos acima:

a² = (6.6667)² = 44.444889

4ab = 4 x 6.6667 x (1) = 8.8884788[pic 2]

3

2b² = 2 x (1)² = 0.222222

3

Substituindo na expressão:

A² - 4ab + 2b² = 44.444889 - 8.8884788 + 0.222222 =

= 35.778632

  1. Para estimar o erro absoluto ao representar o número x = 45721 na aritmética[pic 3]

53

de ponto flutuante iremos logo representar o número na notação de ponto flutuante e, em seguida, calcular a diferença entre o número original e sua representação na aritmética de ponto flutuante.

Começando a notação de x na notação decimal:

x = 86.22642

Para representar x na aritmética de ponto flutuante, precisamos primeiro escrevê-lo na forma decimal com uma quantidade finita de dígitos. Se truncarmos x para 5 dígitos significativos, temos:

sinal: + mantissa: 86226

expoente: 0

Isso ocorre porque a mantissa tem 5 dígitos e o expoente é 0, indicando que não é necessário deslocar a vírgula para representar o número na notação de ponto flutuante. Agora, podemos calcular a diferença entre x e sua representação na aritmética de ponto flutuante:

erro absoluto = x - 86.222

= 0.00442...

Ou seja, o erro absoluto ao representar x na aritmética de ponto flutuante que estamos considerando é de aproximadamente 0.00442.

2 –

a) Para x temos:

0.1 x 2 = 0.2 -> 0

0.2 x 2 = 0.4 -> 0

0.4 x 2 = 0.8 -> 0

0.8 x 2 = 1.6 -> 1

0.6 x 2 = 1.2 -> 1

0.2 x 2 = 0.4 -> 0

0.4 x 2 = 0.8 -> 0

0.8 x 2 = 1.6 -> 1

0.6 x 2 = 1.2 -> 1

0.2 x 2 = 0.4 -> 0

Representação binária: x = 0.0001100110

Para y temos:

0.2 x 2 = 0.4 -> 0

0.4 x 2 = 0.8 -> 0

0.8 x 2 = 1.6 -> 1

0.6 x 2 = 1.2 -> 1

0.2 x 2 = 0.4 -> 0

0.4 x 2 = 0.8 -> 0

0.8 x 2 = 1.6 -> 1

0.6 x 2 = 1.2 -> 1

0.2 x 2 = 0.4 -> 0

Representação binária: y = 0.0011001100

b)

0.0001100110

(x)

+ 0.0011001100

(y)

0.0100110010

(soma)

Logo, x(bi) + y(bi) = 0.0100110010

  1. Para a conversão: 0.0100110010 =

0 x 2^-1        (0 vezes 1/2)

1 x 2^-2        (1 vezes 1/4)

0 x 2^-3        (0 vezes 1/8)

0 x 2^-4        (0 vezes 1/16)

1 x 2^-5        (1 vezes 1/32)

1 x 2^-6        (1 vezes 1/64)

0 x 2^-7        (0 vezes 1/128)

0 x 2^-8        (0 vezes 1/256)

1 x 2^-9        (1 vezes 1/512)

0 x 2^-10 (0 vezes 1/1024) Somando todos os termos:

0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 + 0 x 2^-3 + 0 x 2^-4 + 1 x 2^-5 + 1 x 2^-6 + 0 x 2^-7 + 0 x

2^-8 + 1 x 2^-9 + 0 x 2^-10

= 0 + 0.25 + 0 + 0 + 0.03125 + 0.015625 + 0 + 0 + 0.001953125 + 0

= 0.298828125

  1. Para estimar o erro na soma podemos calcular a diferença entre a soma exata de x e y na base 10 e a soma da representação binária. Logo:

x + y = 0.1 + 0.2 = 0.3

soma binária = 0.010011001100...

= 0.299999...

erro = x + y - soma binária

= 0.3 - 0.299999...

= 0.000000...

3 –

a)[pic 4]

[pic 5]

O código acima plota o gráfico da função no intervalo $(0.1, 10)$:

A partir do gráfico, podemos ver que a função tem uma única raiz positiva, que se encontra entre $1$ e $2$. Podemos refinar essa estimativa traçando o gráfico da função em um intervalo menor:

...

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