Resolvendo exercícios de álgebra

01 – Mostrar que se a | b, então (-a) | b, a | (-b) e (-a) | (-b).

Solução:

Se a | b então ∃q ∈ Z | b = aq.

(i) b = aq => b = (-1)(-1)aq = (-1)a. (-1)q = (-a)(-q).

Como q é inteiro, (-q) também pertence a Z. Portanto, existe (-q) inteiro tal que

b = (-a).(-q) => (-a) | b.

(ii) b = aq => (-1)b = (-1)aq => (-b) = a(-q). Conforme justificado acima, a | (-b).

(iii) b = aq => (-1)b = (-1)aq => (-b) = (-a).q => (-a) | (b). Conforme justificativa em (i)

02 – Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que:

(a) se a | b, então a | bc.

Solução: a | b => b = aq, q ∈ Z => bc = aqc => bc = a(qc).

Se q e c são inteiros, qc é inteiro (multiplicação em Z).

Portanto, existe um inteiro (qc) tal que bc = a(qc) => a | bc. Cqd

(b) se a | b e se a | c, então a2 | bc.

Solução:

a | b => b = aq, q ∈ Z (I)

a | c => c = aq’, q’ ∈ Z (II).

Multiplicando as igualdades obtidas em I e II, resulta bc = a2(qq’). Como q e q’ são inteiros, qq’ é inteiro.

Assim, existe o inteiro qq’, tal que bc = a2(qq’). Portanto, a2 | bc. Cqd.

(c) a | b se e somente se ac | bc (c ≠ 0).

Solução:

a | b ⇔ b = aq <=> bc = aqc (a implicação nos dois sentidos só é válida para c ≠ 0) <=> bc = (ac) q <=> ac | bc. Cqd.

03 – Verdadeiro ou falso: se a | (b + c), então a | b ou a | c.

Solução: a afirmativa é falsa pois 3|9 ⇔ 3 | (4 + 5), mas 3 ~| 4 e 3 ~| 5.

04 – Mostrar que, se a é um número inteiro qualquer, então um dos inteiros a, a + 2, a + 4 é divisível por 3.

Solução: De acordo com o algoritmo da divisão, a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + 2. Isto é, os restos da divisão por 3 somente podem ser 0, 1 ou 2.

Se a = 3q, está comprovada a hipótese.

Se a = 3q + 1, então a + 2 = 3q + 2 + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) ⇒ a + 2 é divisível por 3.

Se a = 3q + 2, então a + 1 = 3q + 2 + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) ⇒ a + 1 é divisível por 3.

Portanto, uma das três formas será divisível por 3.

05 – Sendo a um inteiro qualquer, mostrar:

(a) 2|a(a + 1).

Solução: pelo algoritmo da divisão, a = 2n ou a = 2n + 1.

Se a = 2n, então a (a + 1) = 2n(2n + 1) = 2[n(2n+1)] = 2q ⇒ 2 |a(a + 1).

Se a = 2n + 1, então a(a + 1) = (2n + 1)(2n + 1 + 1) = (2n + 1)(2n + 2) = 2(n + 1)(2n + 1) = 2q ⇒ 2 | a(a + 1).

Portanto, qualquer que seja a, 2 | a(a + 1). Cqd.

(b) 3 | a(a + 1)(a + 2) .

Solução: Pelo algoritmo da divisão, a = 3n ou a = 3n + 1 ou a = 3n + 2.

Se a = 3n, a(a + 1)(a + 2) = 3n(3n + 1)(3n + 2) = 3[n(n + 1)(n + 2)] = 3q ⇒ 3 | a(a + 1)(a + 2)

Se a = 3n + 1, a(a + 1)(a + 2) = (3n + 1)(3n + 1 + 1)(3n + 1 + 2) = (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) =

= (3n + 1)(3n + 2)3(n + 1) = 3[(3n + 1)(3n + 2)(n + 1)] ⇒ 3 | a(a + 1)(a + 2)

Se a = 3n + 2, a(a + 1)(a + 2) = (3n + 2)(3n + 2 + 1)(3n + 2 + 2) = (3n + 2)((3n + 3)(3n + 4) =

= (3n + 2)3(n + 1)(3n + 4) = 3[(3n +2)(n + 1)(3n + 4)] = 3q ⇒ 3 | a(a + 1)(a + 2).

Portanto, qualquer que seja a, 3 | a(a + 1)(a + 2). Cqd.

06 – Mostrar que um inteiro qualquer da forma 6k + 5 também é da forma 3k + 2.

Solução: Se n = 6k + 5 = 6k + 3 + 2 = 3 (k + 3) + 2 = 3k’ + 2 ⇒ n é da forma 3k + 2. Cqd.

07 – Mostrar que todo inteiro ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3.

Solução: Seja n um número inteiro. Pelo algoritmo da divisão n = 4k ou n = 4k + 1 ou n = 4k + 2 ou n = 4k + 3.

Se n = 4k, então n = 2(2k) ⇒ n é par.

Se n = 4k + 1, então n = 2(2k) + 1 è n = 2k’ + 1è 2 | n è n é ímpar.

Se n = 4k + 2, então n = 2(2k + 1) è n = 2k’ ⇒ n é par.

Se n = 4k + 3, então n = 4k + 2 + 1 = 2(2k + 1) + 1 ⇒ n = 2k’ + 1 ⇒ n é impar.

Portanto, n é ímpar se apresentar uma das formas 4k + 1 ou 4k + 3. Cqd.

08 – Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3k ou 3k + 1.

Solução: De acordo com o algoritmo da divisão n = 3k’ ou n = 3k’ + 1 ou n = 3k’ + 2.

Assim,

Se n = 3k’, então : n2 = 9k’ = 3(3k’) = 3k

Se n = 3k’ + 1, então: n2 = (3k’ + 1)2 = 9k’2 + 6k’ + 1 = 3(3k’2 + 2k’) + 1 = 3k + 1.

Se n = 3k’ + 2, então, n2 = (3k’ + 2)2 = 9k’2 + 12k’ + 4 = 9k’2 + 12k’ + 3 + 1 = 3(3k’2 + 4k’ + 1) + 1 = 3k + 1.

Portanto, n2 terá uma das formas, 3k ou 3k + 1.

09 – Mostrar que o cubo de um inteiro qualquer é de uma das formas 9k, 9k + 1 ou 9k + 8.

Solução: