SISTEMAS DETERMINÍSTICOS CAÓTICOS “PÊNDULO DUPLO”
Por: DarleiM • 23/8/2017 • Trabalho acadêmico • 3.108 Palavras (13 Páginas) • 327 Visualizações
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO[pic 1]
FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
SISTEMAS DETERMINÍSTICOS CAÓTICOS
“PÊNDULO DUPLO”
Relatório Técnico para a Disciplina Trabalho Intermediário de Graduação I
Marcelo Col Debella
Darlei Mezzomo
Diego Vitali
acadêmicos
Passo Fundo
2016
INTRODUÇÃO
O presente relatório é referente ao projeto proposto para a disciplina Trabalho Intermediário de Graduação I, no primeiro semestre de 2016: Sistemas Determinísticos Caóticos “Pêndulo Duplo”.
O projeto consiste em tentar prever por meio de equações um sistema que a principio parece ser imprevisível, ou seja, um sistema caótico. A ideia central de um sistema caótico é que uma pequena variação nas condições iniciais trazem enormes consequências no decorrer do tempo.
Inicialmente foi analisado os estudos do conjunto de Mandelbrot, diagrama da bifurcação, mapa de Hénon e mapa de Lorenz que tratam de sistemas caóticos.
Na sequência foi desenvolvido um projeto que prevê o movimento caótico de um pendulo duplo, que mostra sensível dependência das condições iniciais.
SISTEMAS DETERMINÍSTICOS CAÓTICOS
“PÊNDULO DUPLO”
- Conjunto de Mandelbrot
Segundo IHU (2016), Benoit Mandelbrot, nascido em Varsóvia em 20 de novembro de 1924, foi o criador da geometria dos fractais. A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda propriedades e comportamentos dos fractais. Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, onde cada uma destas partes é semelhante ao objeto original.
A superfície da terra tem uma dimensão fractal, da mesma forma que os vasos sanguíneos em nosso corpo. Até o cérebro humano e sua consciência podem ter formas fractais.
Uma das propriedades dos fractais pode ser observada nas figuras 1 e 2, onde a função apresenta esta particularidade, a auto semelhança. O diagrama possui copias minúsculas de si próprio, repetindo até o fim de seu aspecto. O objeto é composto por partes reduzidas dele próprio.
FIGURA 1: Tema principal repetido-se várias vezes, marca da geometria fractal.
[pic 2]
Fonte: longe.abviosmag.org
FIGURA 2: Triangulo de Sierpinski
[pic 3]
Fonte: www.reddit .com
Manuel Grilo (2016) diz que o conjunto de Mandelbrot é definido por um conjunto de pontos no plano complexo, que fazem com que a orbita do mapa quadrático, com início na origem, seja limitada.
O fractal mais conhecido é o conjunto de Mandelbrot. Este trata de uma representação gráfica no plano complexo, originada por uma função recursiva simples. Pela sua aplicação repetida podem ser obtidos apenas dois limites, converge para zero ou diverge para infinito.
Para que possa ser colocado no gráfico, basta fazer um teste, onde é verificado se os valores vão tender a infinito ou não. A seguir as equações 1 e 2 que são usadas no conjunto de Mandelbrot, onde a equação 1 tende ao infinito, ao contrário da equação 2, que terá seus pontos marcados no grafico.
(1)[pic 4]
(2)[pic 5]
Analisando a figura 3 pode-se perceber que a partir de ampliações sucessivas sobre o mesmo ponto, é possível chegar exatamente a mesma figura inicial.
Atualmente, a geometria fractal tem sido adotada em setores como General Eletric, Esso e estúdios de Hollywood, na Engenharia Civil, com a análise de instabilidade paramétrica de estruturas e em outras áreas.
FIGURA 3: Conjunto de Mandelbrot em ampliações sucessivas.
[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]
Fonte: pt.wikipedia.org
- Diagrama de bifurcação
Conforme Teoria do Caos (2016), o mapa logístico é uma equação determinística. Sua situação futura será determinada pelas condições iniciais, então o comportamento do sistema pode ser periódico ou caótico.
Na condição em que o comportamento do mapa logístico é periódico, é fácil prever as condições futuras, pois obedecem uma regularidade que a longo prazo se estabiliza na forma de um atractor. Mas quando acontece o regime caótico, uma pequena variação nas condições iniciais provoca grandes variações nas condições futuras.
A maneira como essa equação (4) funciona é que os resultados vão sempre alimentando a equação de modo a se obterem novos resultados. Um ponto interessante é que, dependendo como se utiliza um certo fator, os resultados podem se tornar altamente previsíveis ou altamente caóticos.
Segundo Manuel Grilo (2016), a partir da equação 3, começando em um valor qualquer de X, e dando um valor ao parâmetro r entre 0 e 4, pode-se observar o comportamento a longo prazo do sistema repetindo a formula recursiva (3) algumas vezes. No início, utilizando valores pequenos para r, menores que 3, o sistema converge para um valor. Utilizando r=3, o sistema alterna entre 2 valores. Para r=3,5 passa a alterar entre 4 valores. Com r=3,56 duplica de novo, gerando 8 valores. Agora a partir deste valor de r, o sistema começa a multiplicar cada vez mais rápido , se tornando caótico com um r=3,58. No entanto, logo a seguir o caos desaparece esporadicamente e aparece novamente logo a seguir, gerando janelas periódicas.
...