Determine as equações lineares e os sistemas de equações lineares

1º Passo: Definir equação linear e sistemas de equação linear. Defina solução de equação linear e de sistemas de equação linear:

Em pesquisa do livro texto e de nossa pesquisa bibliográfica, conseguimos definir que a equação linear é uma equação composta exclusivamente de adições e subtrações de termos que são constantes ou o produto de uma constante pela primeira potência de uma variável.

Conforme a natureza do problema que dá origem a equação, as constantes e as variáveis podem ser números inteiros, reais, complexos ou ter uma estrutura ainda mais geral. No caso dos números inteiros, chama-se a equação de "equação linear diofantina". E que o sistema de equação linear é um conjunto de equações lineares que se da o nome de sistema de equações lineares.

1º definição:

Uma equação linear em n variáveis sobre o corpo F é uma equação que pode ser colocada na forma a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn = b, sendo que os escalares a1+ a2+ a3 + ... + an são denominados coeficientes, e b é chamado de termo independente, ou termo constante.

Exemplos:

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Nesta equação, as variáveis são e , e o termo constante é .

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Aqui, aparece uma equação que não está na "forma padrão". Pode-se reescrevê-la como .

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Neste último exemplo aparece apenas a variável, com coeficiente. O termo constante é .

Como foi ressaltado no exemplo, para uma equação ser chamada de "linear", ela não precisa necessariamente estar com todas as variáveis no membro esquerdo da equação, embora seja usual escrevê-la assim. Como será visto posteriormente, usando essa convenção é possível simplificar a resolução de sistemas de equações lineares (veja adiante), introduzindo o conceito de matriz.

2º definição:

Uma solução da equação linear é uma-dupla (um vetor), cujas entradas podem ser colocadas no lugar de cada , para , de modo que a igualdade seja verdadeira. O conjunto solução de uma equação linear é aquele formado por todas as suas soluções.

Por exemplo, é uma solução da equação linear, uma vez que, mas não.

No caso em que a quantidade de variáveis em uma equação linear é menor ou igual a três, pode-se associar ao seu conjunto solução, uma interpretação geométrica Um sistema de equações lineares (ou sistema linear) é uma coleção de equações lineares envolvendo o mesmo conjunto de variáveis. Um sistema geral de equações lineares com incógnitas (ou variáveis) pode ser escrito como

Aqui, são as incógnitas, são os coeficientes do sistema, e são os termos constantes.

Solução de um sistema linear;

Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constitui sua solução. Esses valores são denominados raízes dos sistemas de equação lineares.

• Sistema compatível:

O sistema de equação linear é compatível quando tem raízes, e são definidas em 3 três partes:

Sistemas determinados: quando admite um única solução, exemplo:

3x + 5y = 15

4x + 6y = 36

É compatível e determinado, pois tem como raiz única x = 4 e y = 6, idendemos que como a primeira equação não tem raiz inteira ela não é compatível, já segunda equação é compatível pois 36 é raiz 6.

Sistema indeterminado: é quando admite mais de uma solução, exemplos:

2x – y + z = 1

X + 2y = 6

Se substituirmos x, y e z pelos números: 0,3 e 4 irão verificar que.

2.0 -3 + 4 = 1

0 + 2.3 = 6

Sistema incompatível: é quando não admite soluções, em outras palavras a incompatível é a inversa da indeterminada, pois não existem substituições entre as variáveis, exemplo:

3x + 9y = 12

3x + 9y = 15

• Sistema equivalente: quando admitem a mesma solução.

3x + 6y = 42 e x + 2y = 14

2x - 4y = 12 x – 2y = 6

Portanto são equivalentes porque substituindo x por 10 e y por 2 teremos a mesma solução de todas as equações.

Um sistema de equação linear se transforma em um sistema equivalente quando acontece a permutação de duas equações, multiplicação de uma equação por um numero real diferente de zero ou pela substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um numero real diferente de zero.

Nesse sistema vimos que o sistema equivalente é parecido com o determinante que vimos acima calculando uma matriz de qualquer ordem. Exemplo do sistema equivalente invertendo a 2 equação pela 3 equação.

2x + 4y - 6z = 10

4x + 2y + 2z = 16 L23

2x + 8y – 4z = 24

Nesse sistema também podemos fazer a multiplicação de uma linha por outra linha; multiplica um numero por uma linha e somar ou subtrair outra linha.

• Sistema linear homogêneo: é quando num sistema de equação lineares os termos independentes