Taxas relacionadas. Diferenciais

Taxas relacionadas. Diferenciais

14.1 Taxas relacionadas

Na linguagem do c¶alculo diferencial, se uma vari¶avel u ¶e fun»c~ao da vari¶avel v, a taxa

de varia»c~ao (instant^anea) de u, em rela»c~ao a v, ¶e a derivada

du

dv

.

Em v¶arias problemas de c¶alculo, duas ou mais grandezas vari¶aveis est~ao relacionadas

entre si por uma equa»c~ao. Por exemplo, na equa»c~ao v1=v2 = (senμ1)=(sen μ2),

temos quatro vari¶aveis, v1, v2, μ1 e μ2, relacionadas entre si.

Se temos vari¶aveis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»c~ao,

podemos ainda ter as tr^es como fun»c~oes de uma ¶unica vari¶avel s. Por deriva»c~ao impl¶³cita,

ou μas vezes, por deriva»c~ao em cadeia, podemos relacionar as v¶arias derivadas du

ds , dv

ds e

dw

ds, ou ainda, por exemplo, du

dv , dv

dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezas

vari¶aveis est~ao inter-relacionadas, e nos quais s~ao levadas em conta as taxas de varia»c~oes

instant^aneas, de algumas grandezas em rela»c~ao a outras, s~ao chamados, na literatura

do c¶alculo, de problemas de taxas relacionadas.

Exemplo 14.1 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do

topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque come»ca a encher-se

de ¶agua, a uma vaz~ao constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que

sobe o n¶³vel da ¶agua (dh=dt), em fun»c~ao da profundidade h. Com que velocidade a

¶agua sobe no instante em que h = 0?

Solu»c~ao. O volume da ¶agua quando esta tem profundidade h ¶e dado por V = 1

3¼r2h,

sendo r o raio da superf¶³cie (circular) da ¶agua. Veja ¯gura 14.1.

Sendo R o raio do topo da caixa, e H sua altura, por raz~oes de semelhan»ca de

tri^angulos, temos r=R = h=H, da¶³ r = Rh=H.

117

Taxas relacionadas. Diferenciais 118

H

h

R

r H

h

R

r

Figura 14.1.

Assim sendo, obtemos

V =

1

3

¼

μ

Rh

H

¶2

h =

¼R2

3H2h3

A taxa de varia»c~ao do volume de ¶agua no tempo, isto ¶e, sua vaz~ao, ¶e constante, ou seja

dV

dt

= k (litros por minuto).

Por deriva»c~ao em cadeia, temos

dV

dt

=

dV

dh

¢ dh

dt

. Como

dV

dt

= k, temos ent~ao

k =

¼R2

H2 h2 ¢ dh

dt

, ou seja,

dh

dt

=

kH2

¼R2

¢ 1

h2

Assim, estabelemos que a velocidade de subida do n¶³vel da ¶agua ¶e inversamente

proporcional ao quadrado de sua profundidade.

Quando h = 0, temos, dh

dt = +1. Na pr¶atica, este resultado nos diz que nossa

modelagem matem¶atica n~ao nos permite determinar a velocidade de subida da ¶agua no

instante em que o tanque come»ca a encher-se.

Exemplo 14.2 Uma escada de 5m de comprimento est¶a recostada em uma parede. A

base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2 cm/seg.

Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada est¶a

a 3m da parede?

Solu»c~ao. Na ¯gura 14.2 temos um diagrama geom¶etrico para o problema, em que denotamos

por x e y as dist^ancias da base e do topo da escada μa base da parede, respectivamente.

Temos

dx

dt

= 2 (cm/seg).

Taxas relacionadas. Diferenciais 119

x

y

5

escada vista

de perfil

Figura 14.2.

Pelo teorema de Pit¶agoras,