TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

Sabemos que as grandezas variam.

De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y = f (x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma dada variação de y, desde que y não seja uma função constante.

Se y = f (x) = x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Δx, ou seja, xvaria de x0 até x0 + Δx(podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Δy).

O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Δx considerada.

Dada uma função y = f (x), definida num intervalo, e de tal modo que y é uma função crescente da variável independente. A variação média é definida em intervalos grandes.

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.

A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.

A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante?

Exemplo: Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por s (t) = t2 + 5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t = 2. Como podemos achar essa velocidade?

Sendo s (t) = t2 + 5, examinemos, em primeiro lugar, a velocidade média no intervalo de tempo [2, 2 + Dt], com Dt > 0 ou Dt < 0. Temos:

Ds = s (2 + Dt) – s (2) = [(2 + Dt)2 + 5] – [4 + 5] = 4. Dt + Dt2 = Dt.(4 + Dt)

e assim,

Para achar a velocidade instantânea em t = 2 fazemos com que o acréscimo Dt se torne muito pequeno, tão pequeno quanto quisermos.

Conforme Dt diminui, se aproxima de 4. Queremos dizer que conforme Dt se torna muito pequeno, tendendo a zero, o quociente tende a 4. Representamos esse fato através da notação:

e dizemos que, no instante t = 2, a velocidade do corpo é v(2) = 4 unidades de velocidade. Ou seja, a taxa de variação instantânea no instante t = 2 é 4. Se o espaço estiver sendo medido em metros e o tempo em segundos, então:

v(2) = 4 m/s. A taxa de variação instantânea é definida em pequenos acréscimos chamados de diferenciais.