Teoria dos números - Exercícios de Divisibilidade

Teoria dos números - Exercícios de divisibilidade

 01 – Mostrar que se a | b,  então  (-a) | b,  a | (-b)  e  (-a) | (-b).

 Solução:

Se a | b então  ∃q ∈ Z | b = aq.

(i) b = aq => b = (-1)(-1)aq  = (-1)a. (-1)q = (-a)(-q).
Como q é inteiro, (-q) também pertence a Z. Portanto, existe (-q) inteiro tal que

b = (-a).(-q) => (-a) | b.
(ii) b = aq => (-1)b = (-1)aq   => (-b) = a(-q). Conforme justificado acima,  a | (-b).
(iii) b = aq => (-1)b = (-1)aq  => (-b) = (-a).q => (-a) | (b). Conforme justificativa em (i)

 

02 – Sejam a, b e c inteiros. Mostrar que:

(a) se a | b, então a | bc.

 

Solução: a | b =>  b = aq,  q ∈ Z  => bc = aqc => bc = a(qc).  
Se q e c são inteiros, qc é inteiro (multiplicação em Z).
Portanto,  existe um inteiro (qc) tal que  bc = a(qc) => a | bc. Cqd

(b) se a | b e se a | c, então a2 | bc.
 

Solução: 
a | b  => b = aq, q ∈ Z  (I)
a | c  => c = aq’, q’ ∈ Z  (II).
Multiplicando as igualdades obtidas em I e II, resulta  bc = a2(qq’).  Como q e q’ são inteiros, qq’ é inteiro.
Assim, existe o inteiro qq’, tal que bc = a2(qq’). Portanto, a2 | bc. Cqd.

 

(c)  a | b  se e somente se ac | bc  (c ≠ 0).

 

Solução: 
a | b ⇔ b = aq <=> bc = aqc  (a implicação nos dois sentidos só é válida para c ≠ 0) <=>  bc = (ac) q <=>  ac | bc. Cqd.

 

03 – Verdadeiro ou falso: se a | (b + c), então a | b ou a | c.

 

Solução: a afirmativa é falsa pois  3|9 ⇔ 3 | (4 + 5), mas 3 ~| 4 e 3 ~| 5.

 

04 – Mostrar que, se a é um número inteiro qualquer, então um dos inteiros a, a + 2, a + 4 é divisível por 3.

 

Solução: De acordo com o algoritmo da divisão, a = 3q ou  a = 3q + 1 ou a = 3q + 2. Isto é, os restos da divisão por 3 somente podem ser 0, 1 ou 2.
Se a = 3q, está comprovada a hipótese.
Se a = 3q + 1, então  a + 2 = 3q + 2 + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) ⇒ a + 2 é divisível por 3.
Se a = 3q + 2, então a + 1 = 3q + 2 + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) ⇒ a + 1 é divisível por 3.
Portanto, uma das três formas será divisível por 3.

 

05 – Sendo a um inteiro qualquer, mostrar:

 

(a) 2|a(a + 1).

 

Solução: pelo algoritmo da divisão, a = 2n ou a = 2n + 1.
Se a = 2n, então  a (a + 1) = 2n(2n + 1) = 2[n(2n+1)] = 2q ⇒ 2 |a(a + 1).
Se a = 2n + 1, então a(a + 1) = (2n + 1)(2n + 1 + 1) = (2n + 1)(2n + 2) = 2(n + 1)(2n + 1) = 2q ⇒ 2 | a(a + 1).
Portanto, qualquer que seja a, 2 | a(a + 1). Cqd.

 

(b) 3 | a(a + 1)(a + 2) .

 

Solução:  Pelo algoritmo da divisão,  a = 3n ou a = 3n + 1 ou a = 3n + 2.
Se a = 3n,  a(a + 1)(a + 2) = 3n(3n + 1)(3n + 2) = 3[n(n + 1)(n + 2)] = 3q ⇒ 3 | a(a + 1)(a + 2)
Se a = 3n + 1,  a(a + 1)(a + 2) = (3n + 1)(3n + 1 + 1)(3n + 1 + 2) = (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) =
= (3n + 1)(3n + 2)3(n + 1) = 3[(3n + 1)(3n + 2)(n + 1)] ⇒ 3 | a(a + 1)(a + 2)
Se a = 3n + 2,  a(a + 1)(a + 2) = (3n + 2)(3n + 2 + 1)(3n + 2 + 2) = (3n + 2)((3n + 3)(3n + 4) =
= (3n + 2)3(n + 1)(3n + 4) = 3[(3n +2)(n + 1)(3n + 4)] = 3q ⇒ 3 | a(a + 1)(a + 2).
Portanto, qualquer que seja a, 3 | a(a + 1)(a + 2). Cqd.

 

06 – Mostrar que um inteiro qualquer da forma 6k + 5 também é da forma 3k + 2.

 

Solução: Se n = 6k + 5 = 6k + 3 + 2 = 3 (k + 3) + 2 = 3k’ + 2 ⇒ n é da forma 3k + 2. Cqd.

 

07 – Mostrar que todo inteiro ímpar é da forma 4k + 1 ou 4k + 3.

 

Solução: Seja n um número inteiro. Pelo algoritmo da divisão n = 4k ou n = 4k + 1 ou n = 4k + 2 ou n = 4k + 3.
Se n = 4k,  então n = 2(2k) ⇒ n é par.
Se n = 4k + 1,  então n = 2(2k) + 1 è n = 2k’ + 1è 2 | n è n é ímpar.
Se n = 4k + 2,  então n = 2(2k + 1) è n = 2k’ ⇒ n é par.
Se n = 4k + 3,  então n = 4k + 2 + 1 = 2(2k + 1) + 1 ⇒ n = 2k’ + 1 ⇒ n é impar.
Portanto, n é ímpar se apresentar uma das formas 4k + 1 ou 4k + 3. Cqd.

 

08 – Mostrar que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3k ou 3k + 1.

 

Solução: De acordo com o algoritmo da divisão  n = 3k’  ou n = 3k’ + 1 ou  n = 3k’ + 2.
Assim,
Se n = 3k’,  então :  n2 = 9k’ = 3(3k’) = 3k
Se n = 3k’ + 1, então:  n2 = (3k’ + 1)2 = 9k’2 + 6k’ + 1 = 3(3k’2 + 2k’) + 1 = 3k + 1.
Se n = 3k’ + 2, então,  n2 = (3k’ + 2)2 = 9k’2 + 12k’ + 4 =  9k’2 + 12k’ + 3 + 1 = 3(3k’2 + 4k’ + 1) + 1 = 3k + 1.
Portanto, n2 terá uma das formas, 3k ou 3k + 1.

 

09 – Mostrar que o cubo de um inteiro qualquer é de uma das formas 9k, 9k + 1 ou 9k + 8.

 

Solução: Temos n = 3k’   ou  n = 3k’ + 1  ou n = 3k’ + 2.
Se n = 3k’,  então   n3 = (3k’)3 = 27k’3 = 9(3k’3) = 9k.
Se n = 3k’ + 1, então n3 = (3k’ + 1)3 = (3k’)3 + 3.(3k’)2.1 + 3(3k’)12 + 13 = 27k’3 + 27k’2 + 9k’ + 1 =
= 9(3k’3 + 3k’2 + k’) + 1 = 9k + 1.
Se n = 3k’ + 2, então n3   = (3k’)3 + 3.(3k’)2.2 + 3(3k’)22 + 23 = 
= 27k’3 + 54k’2 + 36k’ + 8 = 9(3k’3 + 6k’2 + 4k’) + 8 = 9k + 8.
Portanto, o cubo de um inteiro tem uma das formas: 9k, 9k + 1 ou 9k + 8.

 

10 – Mostrar que n(n + 1)(2n + 1)/6 é um inteiro, qualquer que seja o inteiro positivo n.

 

Solução: Devemos provar que 6 | n(n + 1)(2n + 1).
 

(1º)  Qualquer que seja  n (n + 1) é múltiplo de 2, ou seja 2 |n(n + 1) pois, 
pelo algoritmo da divisão, n = 2k ou n = 2k + 1.
Se n = 2k,  2 | n è 2 | (n)(n + 1)
Se n = 2k + 1,  temos que n + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) è 
è 2 | (n + 1) è 2 | n(n + 1).
Portanto, qualquer que seja na 2 | n (n + 1) è 2 | n(n + 1)(2n + 1).

 

(2º) Qualquer se seja n,  n = 3k ou n = 3k + 1 ou n = 3k + 2. 
Se n = 3k,  3 | n è 3 | n(n + 1)(2n + 1.
Se n = 3k + 1,  2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1) ⇒ 3 | (2n + 1) ⇒ 3 ! n (n + 1)(2n + 1)
Se 3 = 3k + 2,  n + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) ⇒ 3 | (n + 1) è 3 | n(n + 1)(2n + 1).
Portanto, qualquer que seja n, 3 | n (n + 1)(2n + 1).
Se 2 | n (n + 1)(2n + 1) e 3 | n (n + 1)(2n + 1),  6 | n(n + 1)(2n + 1) pois 2 e 3 são primos entre si.
Assim, ∃ q, inteiro tal que n(n + 1)(2n + 1) = 6q è ao dividir n (n + 1)(2n + 1) por 6 , o resultado é o inteiro q. Cqd.