Trabalho Mecanica - Vetores

Vetor

Um vetor é uma entidade matemática definido por intensidade, direção e sentido e geometricamente representada por uma reta orientada: direção, ponto de aplicação, sentido, e modulo

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Figura 3.1: Representação de um vetor.

A maioria das grandezas mecânicas é representável por vetores e por isto o instrumento matemático se baseia nas operações vetoriais.

Classificação dos vetores

Os vetores podem ser classificados em:

• Vetor aplicado: não pode ser movido sem modificarem as condições do problema. Exemplo - peso das várias partículas.
• Vetor deslizante: o ponto de aplicação pode mover-se ao logo da linha de ação.
  Casos particulares de vetores deslizantes:

• Vetores iguais: mesma - intensidade, direção e sentido - pode ser diferente o ponto de aplicação.
• Vetores opostos: mesma - intensidade, direção - sentido oposto - pode ser diferente o ponto de aplicação.

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Figura 3.2: Vetores deslizantes: iguais e opostos.

• Vetor livre: podem mover-se livremente no espaço

Os sistemas de vetores podem ser:

• Sistema de vetores quaisquer;
• Sistema de vetores concorrentes: aplicados num ponto - caso dos vetores atuantes sobre uma partícula ou com linhas de ação concorrentes;
• Sistema de vetores complanares: vetores contidos no mesmo plano;
• Sistema de vetores colineares: têm a mesma linha de ação;
• Sistema de vetores paralelos: têm as linhas de ação paralelas;

Operações vetoriais básicas

• Produto por um escalar: [pic 3], onde C pode ser zero, positivo ou negativo. O resultado é um vetor da mesma direção e ponto de aplicação.

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Figura 3.3: Produto de um vetor por um escalar.

• Adição de dois vetores (concorrentes): [pic 5]

O resultado é um vetor obtido utilizando a regra do paralelogramo ou regra de triângulo.

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Figura 3.4: Adição de vetores - regra de paralelogramo e de triângulo.

Propriedades:

Comutativa [pic 7]

• Associativa [pic 8]
• Distributiva em relação aos escalares [pic 9]

Subtração (adição do vetor oposto): [pic 10]

Para adição ou subtração de dois vetores utiliza-se a regra do paralelogramo ou do triângulo - o resultado de adição de dois vetores é igual a diagonal do paralelogramo construído na base dos vetores.

O resultante dos vários vetores concorrentes é obtido utilizando sucessivamente a regra do paralelogramo ou do triângulo resultando a regra de polígono: [pic 11].

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Figura 3.5: Adição de vetores - regra de polígono

Decomposição de um vetor em direções concorrentes

Qualquer vetor pode ser decomposto em duas ou mais componentes desde que tenham o mesmo efeito. A decomposição de um vetor segundo duas direções concorrentes pode ser feita utilizando a regra do paralelogramo (triângulo) de forma inversa.

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Figura 3.6: Decomposição de um vetor em duas direções concorrentes

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Casos:

• Conhecem-se as direções de ação dos vetores componentes 3.4.a;
• Conhece-se um dos vetores componentes 3.4.b;
• As direções de ação dos vetores componentes são perpendiculares.

Lei do Paralelogramo

A regra do paralelogramo é um artifício utilizado em geometria analítica e álgebra linear para obter-se a soma de dois vetores geometricamente. Consiste em escrever-se os dois vetores com a mesma origem e considerar-se a soma como a diagonal do paralelogramo formado. A fórmula usada é:

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Adição vectorial.

Exemplo

Desejamos somar dois vetores, [pic 17]e [pic 18]. Seja AB um representante de [pic 19]em [pic 20]. Tomamos, então, um representante de [pic 21]com extremidade em A, isto é, o representante de [pic 22]será AC. Pela regra do paralelogramo, a soma de [pic 23]com [pic 24]será a diagonal do paralelogramo cujos lados são formados por AB e AC, ou seja, o resultado da soma - [pic 25]- será AD, onde D é a origem do segmento oposto a AB, conforme ilustrado pela figura abaixo.