Trabalho de Deontologia

APLICAÇÕES DE CÁLCULO VETORIAL EM OSCILAÇÕES E ONDAS MECÂNICAS

1.INTRODUÇÃO:

Para entendermos os fenômenos oscilatórios e as ondas mecânicas, devemos entender os princípios básicos do Movimento circular Uniforme (MCU). Em um Movimento circular uniforme, devemos aprender as grandezas angulares e para definirmos as grandezas angulares devemos adotar um sistema de coordenadas xy com a origem (O) no centro de uma trajetória circular desenvolvida pelo objeto em movimento.

[pic 1]Posição angular é a abertura de ângulo   em relação ao ponto denominado origem (O) que determina a posição da partícula na trajetória circular. Dessa forma, temos:   

(                   (ângulo em radianos), em que s é o comprimento do arco de circunferência 

percorrido e  r é o raio da circunferência. Uma circunferência completa é equivalente a 2 radianos. O deslocamento angular é calculado pela diferença entre as posições angulares final e inicial de uma dada partícula:

[pic 2]

A velocidade angular média é definida pela razão entre o deslocamento angular e o [pic 3]

intervalo de tempo do movimento:         

[pic 4]

A velocidade angular instantânea é calculada por: 

As derivadas mostram as variações e a variação da posição é a velocidade

A aceleração de uma partícula indica que sua velocidade angular está mudando. A aceleração angular instantânea é dada por: 

[pic 5]

A unidade no SI é o rad/ s² (radianos por segundo ao quadrado)

[pic 6]Relacionando as variáveis lineares com as angulares através de r (raio da circunferência descrito pelo ponto em torno do eixo de rotação). Considerando a definição de radiano, 

temos que:

[pic 7]Derivando esta igualdade, em função do tempo, obtemos:

[pic 8]

Mas como r é constante, então temos: 

Sabemos que a derivada da posição angular em função do tempo é equivalente à velocidade angular e a derivada da posição em função do tempo equivale à velocidade linear. Portanto, podemos concluir que essas duas velocidades se relacionam da seguinte maneira: [pic 9]

Derivando a equação das velocidades, em função do tempo e lembrando que o r é constante, temos: [pic 10]

Considerando que a derivada da velocidade linear em função do tempo é correspondente à aceleração linear  e, consequentemente, a derivada da velocidade angular [pic 11]

em função do tempo corresponde à aceleração angular. Dessa forma essas duas acelerações estão relacionadas do seguinte modo: a=α r.

Outro termo importante a ser definido é o período. Período (T) é o intervalo de tempo que uma partícula leva para completar uma volta completa em uma trajetória fechada. Considerando que uma dada partícula que se move com uma velocidade constante (v) em uma trajetória equivalente a uma circunferência completa (distância percorrida igual a 2πr ), temos: [pic 12]

Frequência (f): é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. No MCU, a frequência equivale ao número de rotações por segundo, sendo equivalente à velocidade angular. A unidade no SI é Hertz (Hz)

[pic 13]

Quando um objeto está percorrendo uma circunferência ou um arco de circunferência com módulo de velocidade constante, dizemos que ela está em Movimento Circular Uniforme (MCU), ou seja, o objeto em MCU tem o mesmo módulo da velocidade linear em todos os pontos do seu percurso, porém para esse objeto percorrer uma trajetória circular, a direção e o sentido precisam ser variáveis (ter uma aceleração). Essa aceleração é denominada de aceleração centrípeta e está sempre apontada para o centro de uma circunferência (direção radial) e é dada por:

[pic 14]

Sabemos que a função horária dos espaços para um movimento uniforme é dada por:

[pic 15]

Dividindo todos os termos por r, obtemos, para o MCU, a equação equivalente nas variáveis angulares:

[pic 16]

Outra relação importante no MCU é a posição x e y do objeto em função do raio e da posição angular (coordenadas polares), em que:                             e [pic 17][pic 18]

Para obter a posição em função do tempo, substituímos [pic 19]

                                            OSCILAÇÕES

Oscilações são os movimentos repetitivos de uma partícula que, após certo intervalo de tempo, retorna regularmente para uma determinada posição, ou seja, oscilações se refere a qualquer sistema físico que, ao ser perturbado, tende a recuperar sua posição de equilíbrio através de uma força restauradora (força proporcional à perturbação). A maioria das atividades humanas envolvem oscilações, como exemplo, podemos citar as vibrações nos tímpanos, a vibração nos pulmões, as oscilações na laringe, as aplicações das oscilações na área da Engenharia, como nos projetos de máquinas, fundações, motores, estruturas, turbinas e sistemas de controle. Além de estarem presentes também nos sistemas massa-mola, no ângulo de um pêndulo, a flexão de um diapasão e no movimento de rotação de um relógio mecânico.

[pic 20]

As oscilações especificamente no âmbito da Engenharia Mecânica são de extrema importância, pois o estudo dos movimentos oscilatórios está diretamente ligado a eficiência de seus produtos, ou seja, uma das finalidades de estudar as oscilações é tentar reduzi-la através do projeto mais adequado das máquinas e dos seus suportes. Por isso, o engenheiro mecânico projeta o motor ou máquina objetivando minimizar o desbalanceamento, ao passo que o engenheiro de estruturas objetiva fazer o projeto de uma estrutura de suporte assegurando que o efeito do desbalanceamento não cause danos.

[pic 21]

As oscilações também podem ser utilizadas de forma positiva em várias aplicações industriais e de consumo em equipamentos vibratórios, como exemplo podemos citar, esteiras transportadoras, unidades de massagem elétrica, máquinas de lavar, escovas de dente elétrica, entre outros. A oscilação também pode melhorar a eficiência de certos processos de usinagem, fundição, forjamento e soldagem. Elas são utilizadas na simulação de terremotos em pesquisas geológicas e em estudos dos projetos de reatores nucleares.