UM ESTUDO SOBRE A ANÁLISE E SÍNTESE DE CONTROLADORES PID

UM ESTUDO SOBRE A ANÁLISE E SÍNTESE DE CONTROLADORES PID E CONTROLADORES BASEADOS EM LMI’S PARA SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO

Mirella Nogueira Lima¹

Wallysonn Alves de Souza2, Alfredo de Oliveira Assis3.

1IFG/Jataí/Engenharia Elétrica - PIBIC, [e-mail].

2IFG/Jataí/Acadêmico, [e-mail]

3IFG/Jataí/Acadêmico, [e-mail]

Resumo

Esse projeto aborda a análise e síntese de controladores do tipo Proporcional, Integral e Derivativo, comumente denominados de PID, e de controladores baseados em desigualdades matriciais lineares, do inglês Linear Matrix Inequalities – LMI’s. Foi realizado um estudo dos controladores PID que, normalmente, utilizam métodos de controle no espaço da frequência para ajuste dos ganhos. Em seguida, realizou-se um estudo de controladores baseados em LMI’s, uma técnica mais moderna de controle no domínio do tempo, que utiliza a descrição de um sistema em termos de n equações diferenciais que podem ser escritas na forma matricial. Aplicando esses dois controles em um sistema Massa Mola, foram realizadas simulações numéricas através do software MATLAB. Chegou-se à conclusão de que o controlador PID atingiu algumas especificações, como o percentual de ultrapassagem e tempo de assentamento pré-estabelecido, bem como erro de estado estacionário igual a zero; para os controladores baseados em LMI's verificamos a estabilidade do sistema via método de Lyapunov, bem como implementamos um controle que zera o erro de estado estacionário.

Palavras-chave: Controle, PID, LMIs.

Aspectos Históricos da Teoria de Controle Sob a Ótica de Estabilidade

Devido ao nosso foco do estudo, analise e síntese de controladores via LMI’s com interesse em aprimorar os resultados, bem como aumentar a gama de problemas trabalhados em teoria de controle, iremos considerar os fatos históricos que fundamentem nossa teoria principal. Primeiramente podemos perceber o desenvolvimento de escolas com base em precursores distintos. De acordo com ("Linear feedback" XUE, 2007 p 03), os estudos teóricos da teoria de Sistemas de Controles começou com os estudos de estabilidades de equações diferenciais dos trabalhos de Maxwell que introduziu resultados eficientes para estabilidade de equações diferenciais até ordem 4 através da analise dos seus coeficientes em 1868, logo após Routh veio estender seu resultado para o famoso critério de estabilidade de Routh-Hurwitz em 1874, onde em 1895 Hurwitz veio a desenvolver esse mesmo critério de Routh por métodos próprios e autênticos. Agora concomitantemente partindo para a teoria de Sistemas dinâmicos, temos que em 1890 Lyapunov publica o seu trabalho sobre estabilidade de equações diferenciais, tendo ênfase em sistemas mecânicos, introduzindo o uso de desigualdades matriciais na analise de Sistemas Dinâmicos, que viria abrir diversas possibilidades futuramente no campo de estudo de Sistema de Controle. Seguindo em ordem cronológica, depois do critério de Routh-Hurwitz, temos em 1922 outro grande avanço realizado por Minorsky, com a sistematização de um método para analise de um controlador, que hoje conhecemos por PID. Em 1932 Nyguist propiciou outro grande avanço para a época, estabeleceu em seu artigo as bases para estudo das estabilidades, que até então não tinha uma analise muito precisa.

Concomitantemente a essa época temos em 1940 as primeiras tentativas de Lur’e, Postinikov e outro em aplicar a teoria de Lyapunov em problemas práticos de Sistemas de Controle, conseguindo ótimos resultados para sistemas com múltiplas entradas. Em 1942 Smith publica o primeiro livro dedicado a Teoria de Controle "Automatic Control Engineering". (Vale observar que nesse livro não se encontra a teoria de Lur’e e Lyapunov, Lur’e vem publicar seus conceitos mais adiante em 1951).

No ano de 1945 Bode vem a publicar analysis and Feedback Amplifier Design onde introduz também a teoria desenvolvida que vem a estender a teoria de Nyquist, nesta mesma época Lur’e em seus estudo desenvolveu os conceitos fundamentais de margens de ganho e de fase. E a introdução do principio do máximo por Pontryagin em 1956, Programação dinâmica por Bellman em 1957 e representação no espaço de estado por Kalman em 1959 abriu uma nova era na Teoria de Controle, a Teoria Moderna de Controle.

Como um marco desta mesma época temos que em 1960 tem a primeira conferencia de Moscow, reunindo muitos desses grandes pesquisadores.

Melhorando a Estabilidade de um Problema Massa-Mola

Propomos realizar o controle da estabilidade de um problema Massa-Mola, utilizando os dois métodos de controle, o PID e o baseado em LMI’s, de um sistema de malha fechada e retroação unitária, com os seguintes valores de massa, coeficiente de atrito e coeficiente da mola respectivamente 0,25, 1,75 e 0,5.

Com esses dados obtemos à seguinte EDO:
[pic 2][pic 3][pic 4]. Através dela, chegamos à função de transferência: [pic 5].

O resultado desse problema em questão nos dá um tempo de assentamento, tempo necessário para que as oscilações amortecidas do regime transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa de valores de 2% em torno do seu valor final (Ts = 2,44 seg.). Além do valor final de estado estacionário ser igual a 0,667.

Para realizar o controle devemos traçar um objetivo, e o nosso é atingir um tempo de assentamento Ts = 1 seg. e chegar ao máximo de 10% o valor do percentual de ultrapassagem, que é o quanto a forma de onda, no instante de pico, ultrapassa o valor de estado estacionário final. Além disso, obter um erro de estado estacionário nulo, a diferença entre a entrada e a saída igual a zero.

PID

Nosso sistema é de segunda ordem sendo as respostas Superamortecidas. Portanto apresentam dois polos reais, que são os valores que fazem com que a função de transferência se torne infinitos, quando substituídos na variável s da Transformada de Laplace ou, as raízes do denominador comuns às raízes do numerados.

A partir do valor máximo que queremos que o percentual de ultrapassagem chegue, conseguimos achar o valor da variável Zeta (ζ = 0,59) que é a comparação da frequência de decaimento exponencial da envoltória com a frequência natural.

Com o valor de Zeta e com o tempo de assentamento que queremos alcançar, encontramos também o valor da frequência natural (ωn = 6,78) que é a frequência de oscilação do sistema sem amortecimento, através da formula: [pic 6][pic 7].

Com todos esses valores encontrados já podemos começar a realizar o controle por PID, inicialmente pelo PD (Proporcional Derivativo), melhorando assim a nossa resposta transitória.

Sendo (σ = 4) a parte real e (ωd = 5,47) a parte imaginária, eixo X e eixo Y respectivamente do plano, verificamos que a soma dos ângulos formados pelos polos (-1 e -2) é igual a -228,82°, assim devemos acrescentar um zero na nossa função de transferência para compensar esse ângulo e obter a resposta transitória desejada. Para isso, acrescentamos um ângulo de 48,82° obtendo um zero, que são os valores que fazem com que a função de transferência se torne zero, quando substituídos na variável s da Transformada de Laplace ou, as raízes do numerador comuns às raízes do denominador, com valor de 8,8.