Uso de polinômios

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Capítulo 2

Funções

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Adaptado do artigo de

Catherine Herr Mulligan

Uso de polinômios

para surpreender

Introdução

Ao ensinar álgebra, tento apresentar a matéria

como relevante e útil, mas não creio que seja

necessário manter sempre as considerações de

“relevância” ligadas ao mundo real. A maioria

dos meus alunos continuará estudando

Matemática e tento ensinar-lhes que a álgebra é

um instrumento que se usa em Matemática

superior − uma linguagem comum e um meio de

comunicação. As aplicações ao mundo real são

importantes, mas também é bom que os alunos

vejam como se usa a álgebra para o bem da

Matemática.

A aritmética dos polinômios é uma boa área

para implementar essa filosofia. A manipulação

de expressões polinomiais é uma técnica

essencial; no entanto, como qualquer habilidade

que exige prática, pode tornar-se repetitiva e

monótona.

Uma coleção de alguns “fatos surpreendentes”

permite ao aluno “descobrir” e então demonstrar

esses fatos, usando a aritmética dos polinômios.

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Alguns dos fatos envolvem “truques” para cálculo mental rápido, que

podem ser explicados, usando uma representação polinomial simples.

Nesta época de calculadoras, esses fenômenos são introduzidos, não

porque são rápidos, mas porque funcionam; os alunos são desafiados a

provar por que funcionam!

Fato Surpreendente 1

Se dois números de dois algarismos têm iguais os

algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades

somam 10, pode-se calcular seu produto

instantaneamente.

Se os alunos me testam, com 77 × 73, por exemplo,

respondo instantaneamente 5621. Após mais um ou dois

exemplos, revelo meu “truque”: multiplica-se o algarismo das

dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56, cujos algarismos

serão, nessa ordem, os algarismos dos milhares e das centenas

da resposta. Acrescenta-se à direita de 56 o produto dos

algarismos das unidades, 7 × 3 ou 21, obtendo-se 5621.

Podemos aumentar a confiança no processo, aplicandoo

a vários outros casos, mas muitos exemplos não constituem

uma demonstração. Porém, se usarmos binômios para

representar os números a serem multiplicados, podemos dar

uma demonstração que independe dos exemplos escolhidos.

Represente por a o algarismo das dezenas dos dois números

considerados e por b o algarismo das unidades do primeiro número. Então

o algarismo das unidades do segundo número será 10 − b.

Logo, 10a + b é o primeiro número e 10a + (10 − b), o segundo

número. Seu produto é:

(10a + b) × (10a + 10 −b) = ...= 100a (a + l) + b (10 − b).

Fato Surpreedente 2

Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o

resultado sempre será um quadrado perfeito.

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Alguns exemplos levarão os alunos a suspeitar que essa afirmação é

sempre verdadeira. Poderemos anotar nossas observações no quadronegro

assim:

1 × 2 × 3 × 4 +1 = 25 = 52, 2 × 3 × 4 × 5 +1 = 121 = 112,

97 × 98 × 99 × 100 + l = 94109401 = 97012.

Para obter uma prova desse fato, vamos representar os inteiros

consecutivos por: n, n+ l, n+2 e n + 3.

Então

n(n + l )(n + 2)(n + 3) + l = n4 + 6n3 +11n2 + 6n + 1 (l)

Temos, agora, dois procedimentos possíveis.

Alguns alunos notarão que o quadrado perfeito, nos nossos exemplos

numéricos, é o quadrado de 1 mais o produto do primeiro pelo último

termo da seqüência (é também o quadrado de 1 menos o produto do

segundo pelo terceiro termo da seqüência). Poderemos observar, por

exemplo, que

4 × 5 × 6 × 7 + l = 841 = 292 = (l + 4 × 7)2.

Expressando em polinômios, escrevemos

[1+ n(n + 3)]2 = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n +1. (2)

Isso, além de confirmar que (1) é um quadrado perfeito,

também nos diz de que número é o quadrado perfeito.

Outra maneira de proceder é trabalhar diretamente a partir

de (1) e conjecturar que seria