Velocidade instantânea

1 Velocidade Instantânea

Se conhecemos a posição do corpo em cada instante de tempo podemos calcular

velocidades médias para diferentes intervalos, conhecendo-se, assim, novos aspectos do

movimento. Nesse caso, partimos da (coordenada de) posição em função do tempo para obter

as velocidades médias. Se dois movimentos começam e terminam nos mesmos pontos e têm a

mesma duração total, a velocidade média total será a mesma. Isto, no entanto, não fornece

detalhes sobre o movimento de cada um.

Exemplo 1: Os pardais medem a velocidade média no intervalo de tempo entre a passagem das

rodas dianteiras e as traseiras do carro, por cima de um cabo estendido na estrada e usam esse

valor para aproximar a velocidade instantânea do carro ao passar pelo medidor. Faça uma

estimativa para esse intervalo de tempo, quando o velocímetro marca 90 km/h. Para fazer o

cálculo, estime a distância entre as rodas dianteiras e traseiras.

V

S

t

Δ =Δ

s

v

t

Δ = Δ

ΔS = 2 m = 2 x 10-3 km

Assim,

3 2 10 km 5 t 2 k m 9 0

h

− × − Δ = = × 1 0 h

Δt ≈ 2 x 10-5 x 3600 s ≈ 0,08s Æ 8 centésimos de segundo

No exemplo do pardal eletrônico, um intervalo de tempo de alguns centésimos de segundo para

calcular a velocidade média é pequeno o suficiente para considerar a velocidade média

calculada pelo medidor como sendo uma boa aproximação para a velocidade instantânea do

carro.

Velocidade instantânea é a velocidade do corpo num dado instante de tempo.

Velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) não é definida como a razão entre

deslocamento e intervalo de tempo, ao contrário da velocidade média. Mas pode surgir a partir

da velocidade média, juntamente com os conceitos matemáticos de limite e derivada.

A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo

de tempo Δt até torná-lo próximo de zero. À medida que Δt diminui, a velocidade média se

aproxima de um valor-limite, que é a velocidade instantânea.

dt

ds

t

s

vv

t t

= Δ

Δ == →Δ 0 →Δ 0

limlim

Observe que v é a taxa de variação da coordenada de posição com o tempo, ou seja, é a

derivada de s em relação a t. Observe também que v, em qualquer instante, é a inclinação da

curva que representa a posição em função do tempo no instante considerado. A velocidade

instantânea também é uma grandeza vetorial e, portanto, possui uma direção e um sentido.

Vamos usar o conceito de limite (derivada) para calcular a velocidade instantânea. Imagine que

uma partícula tenha a seguinte função que descreve sua coordenada de posição com o tempo:

s(t) = t2

(cm,s) para 0 ≤ t ≤ 5s. Vamos calcular a velocidade média entre 1s e 1s + ∆t para

diversos valores de ∆t, preenchendo a tabela a seguir. vmed

∆t em seg. ∆s = s(t+∆t) – s(t) em cm em cm/s

UNIVAP - Dinâmica de um Sistema de Partículas 2

0,1 (1+0,1)

2

– 12

= 0,21 = 2,1

0,01 (1+0,01)

2

– 12

= 0,0201 = 2,01

0,001 (1+0,001)

2

– 12

= 0,002001 = 2,001

0,0001 (1+0,0001)

2

– 12

= 0,00020001 2,0001

0,00001 ... 2,00001

0,000001 ... 2,000001

(∆t tende para) 0 (∆s tende para) 0 (tende para) 2

Para a função s(t) = t2

(cm,s), vamos escrever agora a expressão para v entre 1s e (1s + ∆t),

sendo ∆t indeterminado, daremos o valor limite dessa expressão quando ∆t