Vetor Definido por Dois Pontos

1.9 Vetor Definido por Dois Pontos

Ocorre, às vezes, o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema. Considerando o vetor de origemno ponto A( , ) e extremidade B( , ).

IMAGEM DA PAG.8

De acordo com o que foi visto no item 1.3 (observação 2), o vetor é a diferença entre os vetores e :

= -

E,portanto:

= (x2,y2)-(x1,-y1)

Ou:

= (x2 - x1,y2 - y1)

Isto é,as componentes do vetor são obtidas pela diferença entre as coordernadas de extremidade B e as origem A.

Por exemplo, se A (-1,3) e B (2,-2), o vetor será:

= B - A = (2,-2) – (-1,3) = (3.-5)

2.0 Produto Escalar

Definição:Chama-se de escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u = (x1,x2) e v = (x2,y2), e se representa por u.v, ao numero real:

u.v = x1 x2 + y1 y2

O produto escalar de u por v também é indicado por < u, v > e se lê “u escalar v”.

Por exemplo, se u = (2,3) e v = (4,-1), tem-se:

u. v = 2(4)+3(-1) = 8 - 3 = 5

2.1 Módulo de um Vetor

Módulo de um vetor v = (x, y) , representado por |v|, é o número real não negativo:

|v|=

Ou, em coordenadas:

|V|=

Ou, ainda :

|V| =

Por exemplo, se v=(3, -4), então :

= = = 5

A partir de cada vetor v≠0 é possível obter um vetor unitário u fazendo u=

Por exemplo, é unitário o vetor:

u= = = = = =

Observação: Dado um vetor com extremidade nos pontos A(x1, y2 ) e B(x2, y2), o módulo desse vetor será :

=

Assinale-se que a distância entre os pontos A e B é calculado pela mesma fórmula .

Dados os vetores u, v e w quaisquer e k € IR, tem-se :

I) u. u ≥ 0 e u.u =0 se , e somente se , u= 0 = (0, 0)

II) u.v = v . u (comutativa )

III) u . (v + w ) = u. v + u . w (distributiva em relação á adição de vetores )

IV) (mu) . v = m (u.v) = u . (mv)

V) u . u =

Observação: Como consequência das propriedades do produto escalar , vem :

1) +2 u . v +

Com efeito :

= (u + v) . (u + v) = u. (u + v) + v. (u + v)

= u . u + u . v