Vibrações Trabalho acadêmico apresentado ao Departamento

EVANDRO MULLER

                                ROBERTO LAZAROTO RIVA

LUCAS ANDRE PRADO

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

TRABALHO ACADÊMICO

GUARAPUAVA 2018

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Trabalho acadêmico apresentado ao Departamento

De Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná como requisito parcial para obtenção de nota na Disciplina de Vibrações Mecânicas ministrada pela Prof.ª Denise Ramalho.

GUARAPUAVA 2018

Sumário

1. MODELO DO SISTEMA        3

1. DESCRIÇÃO DO SISTEMA        3
2. SEGUNDA LEI DE NEWTON        5
3. PONDERAÇÕES NUMÉRICAS        5

1. MATRIZES        6
2. SOLUÇÃO DOS AUTOVALORES        7

1. FREQUÊNCIA DA FORÇA DE 0,9 VEZES A MENOR        12
2. FREQUÊNCIA DA FORÇA DE 4,0 VEZES A MAIOR        13

1. CONCLUSÕES        15
2. REFERÊNCIAS        16

1. MODELO DO SISTEMA

Uma manutenção preditiva foi realizada em um torno CNC, instalado em uma empresa responsável pela produção de peças automotivas, de acordo com o resultado emitido pelos técnicos responsáveis pela manutenção, alguns componentes da máquina estão sendo severamente atingidos pela vibração excessiva da máquina quando acionada, o que não é desejável visto que o desgaste de seus componentes é acentuado devido ao problema.

Desta forma, o engenheiro responsável decidiu implementar um sistema de amortecimento, utilizando molas, pesos e amortecedores com o intuito de diminuir os efeitos negativos da vibração da máquina, bem como não transmitir a vibração para as demais máquinas instaladas no mesmo setor da empresa.

A seguir será feita uma modelagem do sistema com valores estimados para uma força genérica que será assumida para verificar se há possibilidade de se construir o sistema.

1. DESCRIÇÃO DO SISTEMA

A fim de melhorar a absorção do mecanismo, foi sintetizado um sistema de três graus de liberdade composto por três massas m1, m2 e m3 as quais possuem seus valores no sistema internacional ( kg ), quatro molas de rigidez k1, k2, k3 e k4, todas em N/m, e também quatro amortecedores com c1, c2, c3 e c4 em N.s/m, dispostos conforme a figura 1 abaixo.

[pic 1]

Figura 1 – Sistema mola-massa-amortecedor projetado para absorver as

vibrações.

  Será assumido que a vibração forçada que atua diretamente sobre m1 obedece à função oscilatória F(t) = A.cos(ωt) que gera o movimento x1(t) e consequentemente acaba gerando x2(t) e também x3(t), sendo assim diminuindo a vibração na parte de baixo do sistema, que simula o chão da empresa na qual o torno CNC está instalado

1. SEGUNDA LEI DE NEWTON

A segunda lei de Newton, também chamada de princípio fundamental da dinâmica, afirma que a força resultante em uma partícula é igual à taxa temporal de variação do seu momento linear em um sistema de referência inercial, contudo para sistemas onde a massa é uma constante, a massa pode ser retirada da diferencial, o que resulta na seguinte expressão:

Fr = mẍ

(1)

Assim, aplicando isso ao sistema referido de três graus de liberdade, teremos então as seguintes equações de movimento:

m1 ẍ1 + (c1 + c2)ẋ1 − c2 ẋ2 + (k1 + k2)x1 − k2x2 = F1	(2)
m2 ẍ2 − c2 ẋ1 + (c2 + c3)ẋ2 − c3 ẋ3 − k2x1 + (k2 + k3)x2 − k3x3 = F2	(3)
m3ẍ3 − c3 ẋ2 + (c3 + c4)ẋ3 − k3x2 + (k3 + k4)x3 = F3	(4)

Pela consideração feita anteriormente, temos que as forças F2 e F3 = 0, ẋi é a velocidade de cada massa e ẍi é a aceleração das massas, os deslocamentos, velocidades e acelerações as quais são funções temporais, serão encontrados em frente.

1. PONDERAÇÕES NUMÉRICAS

Para tornar o sistema mais fácil de ser estimado, consideraremos que as três massas consideradas serão iguais, as quatro rigidezes serão iguais entre si bem como também os quatro coeficientes de amortecimento, tendo seus valores estabelecidos em:

𝑚 = 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚3 = 1𝑘𝑔

𝑘 = 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 𝑘4 = 1000 𝑁/𝑚

𝑐 = 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 𝑐4 = 100 𝑁. 𝑠/m

Assim como a amplitude A da vibração F(t) será de 10 mm e ω ainda por enquanto não definida. Com isso, substituindo nas equações acima desenvolvidas serão:

1𝑥̈1 + (200)𝑥̇1 − 100𝑥̇2 + (2000)𝑥1 − 1000 = 0,01 cos(𝜔𝑡) (5)